Wartość nauki/Nauki matematyczne/Pojęcie przestrzeni
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Wartość nauki |
| Część | Nauki matematyczne |
| Rozdział | Pojęcie przestrzeni |
| Redaktor | Ludwik Silberstein |
| Wydawca | G. Centnerszwer i Ska. |
| Data wyd. | 1908 |
| Druk | Drukarnia Narodowa w Krakowie |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Tłumacz | Ludwik Silberstein |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Cały tekst |
| Indeks stron | |
W artykułach dawniejszych poświęconych przestrzeni kładłem główny nacisk na zagadnienia wyrosłe na gruncie geometryi nie-euklidesowej, nie tykając wcale prawie innych pytań, trudniejszych, jak np. tych, które dotyczą liczby wymiarów. Wszystkie więc geometrye, które rozważyłem, miały spólne tło, owo continuum trójwymiarowe, jednakie dla wszystkich, a które różnicowało się dopiero przez kreślone na niem figury lub wówczas, gdy chciano je mierzyć.
W tem to pierwotnie bezpostaciowem continuum można sobie wyobrazić sieć linij i powierzchni, można następnie zgodzić się na to, aby uważano oka tej sieci jako równe między sobą, a wówczas jedynie, stając się wymierzalnem, continuum to staje się przestrzenią euklidesową lub nie-euklidesową.
Z tego więc continuum pozbawionego pierwotnie kształtu może się wyłonić bądź jedna, bądź druga przestrzeń, podobnie jak na kartce białego papieru można podług woli narysować prostą lub koło.
W przestrzeni znamy trójkąty prostolinijne, których suma kątów równa się dwóm kątom prostym; lecz znamy również trójkąty krzywolinijne o sumie kątów mniejszej od dwóch prostych. Istnienie jednych nie jest bardziej wątpliwe niż istnienie drugich. Nazwać boki jednych prostemi — znaczy: przyjąć geometryę euklidesową, nazwać boki drugich prostemi — znaczy: przyjąć geometryę nie-euklidesową, tak iż pytanie, którą należy przyjąć geometryę, jest to samo co pytanie, jakiej linii należy nadać miano prostej.
Doświadczenie, oczywiście, nie może rostrzygnąć podobnej kwestyi; nie będziemy naprzykład wymagali od doświadczenia, aby rostrzygło, czy jakąś prostą mam nazwać AB czy też raczej CD. Z drugiej strony, nie mogę nawet powiedzieć, że nie mam prawa nazwać prostemi boki trójkątów nie-euklidesowych dlatego, że nie odpowiadają one wiekuistemu pojęciu prostej, które posiadam przez intuicyę. Chciałbym wprawdzie posiadać pojęcie intuicyjne boku trójkąta euklidesowego, lecz mam zarówno pojęcie intuicyjne boku trójkąta nie-euklidesowego. Dlaczegóż miałbym prawo stosować nazwę prostej do pierwszego z tych pojęć, zaś nie do drugiego? O ile dwie te zgłoski stanowiłyby część integralną tego pojęcia intuicyjnego? Twierdząc, że prosta euklidesowa jest prawdziwą prostą zaś nie-euklidesowa nie jest prawdziwą prostą, chcemy oczywiście powiedzieć poprostu, że pierwsze pojęcie intuicyjne odpowiada przedmiotowi bardziej godnemu uwagi, niż drugie. W jaki zaś osądzamy to sposób, usiłowałem wykazać w Nauce i Hypotezie.
Tu właśnie widzieliśmy interwencyę doświadczenia; jeżeli prosta euklidesowa jest godniejsza uwagi niż nie-euklidesowa, dzieje się to przedewszystkiem dlatego, że odbiega ona nieznacznie tylko od pewnych godnych uwagi przedmiotów naturalnych, od których właśnie prosta nie-euklidesowa bardzo się różni. Ale, zarzuci ktoś, określenie prostej nie-euklidesowej jest sztuczne; sprobujmy przyjąć je na chwilę, a zobaczymy, że dwa koła o różnych promieniach otrzymają jednocześnie nazwę prostych nie-euklidesowych, podczas gdy z dwóch kół o tym samym promieniu jedno będzie mogło uczynić zadość określeniu, drugie zaś nie, tak iż, gdy przeniesiemy jednę z tych rzekomych prostych bez odkształcenia, przestanie ona być prostą. Lecz jakiemże prawem uważamy jako równe owe dwie figury, które geometrowie euklidesowi nazywają dwoma kołami o tych samych promieniach? Dzieje się to dla tego, że przenosząc jednę z nich i nie odkształcając jej możemy doprowadzić ją do zlania się z drugą. Dlaczegoż jednak powiadamy, że przeniesienie to odbyło się bez odkształcenia? Przytoczenie dobrego po temu powodu jest niemożliwe. Pośród wszystkich dających się pomyśleć ruchów są takie, o których geometrowie euklidesowi powiadają, że nie towarzyszy im odkształcenie; są też jednak i inne, o których powiedzieliby to samo geometrowie nie-euklidesowi. Przy pierwszych, zwanych ruchami euklidesowemi, proste euklidesowe pozostają prostemi euklidesowemi, podczas gdy proste nie-euklidesowe nie pozostają prostemi nie-euklidesowemi; przy ruchach drugiego rodzaju, zwanych nie-euklidesowemi, proste nie-euklidesowe pozostają prostemi nie-euklidesowemi, podczas gdy proste euklidesowe nie pozostają prostemi euklidesowemi. Nie dowiodło się więc, że niedorzecznie jest nazywać prostemi boki trójkątów nie-euklidesowych, lecz tylko że byłoby to niedorzeczne, gdybyśmy przy tem nazywali nadal ruchami bez odkształcenia ruchy euklidesowe; lecz również dobrze możnaby okazać, że byłoby niedorzecznością nazywać prostemi boki trójkątów euklidesowych, zachowując przy tem nazwę ruchów bez odkształcenia dla ruchów nie-euklidesowych.
Następnie, gdy twierdzimy, że ruchy euklidesowe są prawdziwemi ruchami bez odkształcenia, co chcemy przez to powiedzieć. To poprostu, że są one godniejsze uwagi (plus remarquables) niż tamte; a dlaczegóż to? Dlatego, że pewne godne uwagi ciała przyrodzone, a mianowicie ciała stałe, podlegają takim mniej więcej ruchom.
Gdy więc zapytujemy, czy można wyobrazić sobie przestrzeń nie-euklidesową, — znaczy to: czy możemy sobie wyobrazić świat, w którym istniałyby godne uwagi przedmioty przyrodzone, naśladujące mniej więcej kształt prostych nie-euklidesowych i godne uwagi bryły przyrodzone odbywające często ruchy mniej więcej podobne do ruchów nie-euklidesowych? Okazałem w Nauce i Hypotezie, że na pytanie to należy odpowiedzieć twierdząco.
Częstokroć zwracano już uwagę na to, że gdyby wszystkie ciała we Wszechświecie rozszerzyły się jednocześnie i w tym samym stosunku, nie mielibyśmy żadnych środków dostrzeżenia tego, albowiem wszystkie nasze przyrządy miernicze zwiększyłyby się wraz z samemi przedmiotami, do pomiaru których miałyby służyć. Po takiej dylatacyi świat biegłby nadal po swych torach, i nic nie zawiadomiłoby nas o tak znacznem zdarzeniu.
Innemi słowy, dwa światy podobne do siebie (gdzie »podobieństwo« należy rozumieć w myśl 3-ej księgi geometryi) nie dałyby się zgoła odróżnić. Nie dość na tem jednak; dwa światy będą nieodróżnialne nietylko, jeżeli są jednakowe lub podobne, t. j. jeżeli można przejść od jednego do drugiego przez zmianę osi spółrzędnych lub skali ich długości, lecz wówczas nawet, gdy od jednego do drugiego przejść można przez »przekształcenie punktowe« jakiekolwiek. Objaśnię to natychmiast. Przypuszczam, że każdemu punktowi jednego świata odpowiada jeden i tylko jeden punkt drugiego, i odwrotnie, tudzież, że spółrzędne punktu są funkcyami ciągłemi, zresztą jednak zupełnie dowolnemi, spółrzędnych odpowiedniego punktu. Dalej, przypuszczam, że każdemu przedmiotowi w pierwszym świecie odpowiada w drugim przedmiot o tej samej istocie znajdującej się dokładnie w odpowiednim punkcie. Przypuszczam wreszcie, że odpowiedniość ta, urzeczywistniona w chwili początkowej, zachowuje się bezgranicznie. Otóż, dwóch tych światów nie moglibyśmy w żaden sposób odróżnić od siebie. Zazwyczaj, gdy jest mowa o względności przestrzeni, nie pojmuje się jej w tak obszernem znaczeniu; tak atoli należałoby ją właśnie pojmować.
Jeżeli jeden z tych światów jest naszym światem euklidesowym, to, co mieszkańcy jego nazywać będą prostą, będzie naszą prostą euklidesową; lecz to, co mieszkańcy drugiego świata będą nazywali prostą, będzie krzywą, posiadającą te same własności względem zamieszkiwanego przez nich świata i względem ruchów, które oni nazywać będą ruchami bez odkształcenia; geometrya ich będzie więc geometryą euklidesową, lecz prosta ich nie będzie naszą prostą euklidesową. Będzie ona jej odpowiednikiem, otrzymanym przez przekształcenie punktowe, które prowadzi z naszego do ich świata; linie proste tych ludzi nie będą naszemi prostemi, będą one jednak w takich samych do siebie stosunkach, jak nasze proste do siebie, — a to właśnie miałem na myśli, mówiąc, że geometrya ich będzie naszą geometryą. Jeżeli więc koniecznie chcemy głosić, że mylą się oni, że prosta ich nie jest prawdziwą prostą, jeżeli nie chcemy przyznać, że podobne twierdzenie nie ma żadnego sensu, musimy zgodzić się na to przynajmniej, że ludzie ci nie mają żadnego zgoła środka, aby błąd swój spostrzec.
Wszystko to daje się względnie łatwo zrozumieć, a powtarzałem to już tylekroć, że sądzę, iż zbytecznem byłoby nadal się nad tym przedmiotem rozwodzić. Przestrzeń euklidesowa nie jest formą narzuconą naszej zmysłowości; możemy bowiem wyobrazić sobie przestrzeń nie-euklidesową; obie atoli przestrzenie: euklidesowa i nie-euklidesowa mają tło spólne, a mianowicie owo continuum bezpostaciowe, o którem poprzednio była mowa; na tle tem możemy otrzymać bądź to przestrzeń euklidesową, bądź też przestrzel Łobaczewskiego, podobnie jak możemy termometr nie podzielony jeszcze przekształcić za pomocą odpowiedniej podziałki bądź to na termometr Fahrenheita, bądź też na termometr Réaumura.
Nasuwa się więc pytanie, czy to bezpostaciowe continuum, które ostało się wobec naszej analizy, nie jest formą narzuconą naszej zmysłowości? Rozszerzylibyśmy poniekąd więzienie, w którem jest zamknięta nasza zmysłowość, lecz byłoby to zawsze jeszcze więzienie.
Continuum to posiada pewną liczbę własności wolnych od wszelkiego pojęcia miary. Badanie tych własności stanowi przedmiot pewnej nauki uprawianej przez kilku wielkich matematyków, szczególniej zaś przez Riemanna i Betti’ego, a nazwanej Analizą Położenia [Analysis Sitûs]. W nauce tej abstrahuje się od wszelkiego pojęcia ilościowego; stwierdzając np., że na jakiejś linii punkt B znajduje się między punktami A i C, zadawalniamy się tą treścią, nie troszcząc się bynajmniej o to, czy linia ABC jest prosta lub krzywa, ani też o to, czy długość AB jest równa długości BC czy też dwa razy większa.
Twierdzenia Analizy Położenia mają więc tę właściwość, że pozostałyby prawdziwe, gdyby figury skopiował niewprawny rysownik, który zmieniłby zgruba wszystkie proporcye i zastąpił linie proste przez mniej lub więcej faliste krzywe. Wyrażając się matematycznie, możemy powiedzieć, że twierdzenia te nie podlegają zmianie na skutek jakiegokolwiek »przekształcenia punktowego«. Częstokroć mawiano, że geometrya metryczna jest ilościową, podczas gdy geometrya rzutowa jest czysto jakościową; jest to niezupełnie słuszne: to, co wyróżnia prostą z pośród innych linij, stanowi zbiór własności, które pod pewnym względem są jeszcze ilościowemi. Prawdziwą geometryą jakościową jest więc Analiza Położenia.
Ze względu na twierdzenia Analizy Położenia nasuwają się znowu te same pytania, które dotyczyłyby prawd geometryi euklidesowej. Czy można je osiągnąć drogą rozumowania dedukcyjnego? Czy są to ukryte konwencye? Czy też może prawdy doświadczalne? Czy stanowią one cechy pewnej formy narzuconej bądź to naszej zmysłowości, bądź też naszemu pojmowaniu?
Zaznaczę tylko, że dwa ostatnie rozwiązania są wykluczone, z czego nigdy nie zdawano sobie dobrze sprawy. Nie możemy przypuścić niemożliwości wyobrażenia sobie przestrzeni o czterech wymiarach i jednocześnie przyjąć, że doświadczenie właśnie poucza nas, że przestrzeń ma trzy wymiary. Eksperymentator stawia pytanie przyrodzie: czy jest tak czy inaczej? — i nie mógłby w ten sposób pytać, gdyby nie wyobrażał sobie jednego i drugiego wyrazu takiej alternatywy. Gdyby nie można było wyobrazić sobie obojga, zasięgnięcie rady doświadczenia byłoby nadaremne i zresztą niemożliwe. Niepotrzebna nam jest obserwacya do tego, aby wiedzieć, że skazówka nie znajduje się na 15-ej podziałce tarczy zegarowej, gdyż wiemy zgóry, że jest na niej tylko 12 i nie moglibyśmy spojrzeć na podziałkę 15-stą, aby zobaczyć, czy znajduje się na niej skazówka, albowiem podziałka ta nie istnieje.
Zauważmy również, że tu empirycy uwalniają się od jednego z najcięższych zarzutów, jakie można im uczynić, od tego mianowicie, który udaremnia z góry najzupełniej wszelkie ich wysiłki skierowane ku zastosowaniu ich tez do prawd geometryi euklidesowej. Prawdy te są ścisłe, podczas gdy wszelkie doświadczenie może być tylko przybliżone. W Analizie Położenia doświadczenia przybliżone mogą wystarczyć do ustanowienia ścisłego twierdzenia; jeżeli wiemy np., że przestrzeń nie może mieć ani dwóch ani mniej wymiarów, ani też czterech lub więcej niż cztery, jesteśmy pewni, że ma ona dokładnie 3 wymiary, albowiem nie mogłaby mieć 2½ lub 3½.
Ze wszystkich twierdzeń Analizy Położenia najważniejsze jest to, które orzeka, że przestrzeń ma trzy wymiary. Tem więc twierdzeniem wypadnie się nam zająć, a pytanie nasze w następujący postawimy sposób: Gdy twierdzimy, że przestrzeń ma trzy wymiary, cóż chcemy przez to powiedzieć?
W Nauce i Hypotezie objaśniłem, skąd bierze się nasze pojęcie ciągłości fizycznej i jak mogło się zeń wyłonić pojęcie ciągłości matematycznej. Zdarza się, że możemy odróżnić od siebie dwa wrażenia, podczas gdy nie umielilibyśmy odróżnić żadnego z nich od jednego i tego samego trzeciego wrażenia. Tak np. odróżniamy łatwo ciężar 12-sto gramowy od 10-cio gramowego, nie mogąc odróżnić ciężaru 11-sto gramowego ani od jednego ani od drugiego.
Byłoby to wzorem ciągłości fizycznej, jaką nam daje surowe doświadczenie, stąd zaś wynikła sprzeczność nie do zniesienia, którą usunięto przez wprowadzenie continuum matematycznego. Jest to drabina o stopniach (liczby wymierne lub niewymierne) nieskończenie wielu, lecz oddzielonych, nie zaś stykających się ze sobą jak elementy continuum fizycznego według ostatniego wzoru.
Fizyczne continuum jest, że tak powiem, mgławicą, której najdoskonalsze nawet przyrządy nie zdołały rozłożyć. Oceniając ciężary zapomocą dobrej wagi, zamiast ręką, odróżnilibyśmy bez wątpienia, ciężar 11 gr. od ciężarów 10 i 12 gr., tak iż wzór nasz zamieniłby się na
trudność więc byłaby tylko odsunięta, a mgławica zawsze jeszcze nie byłaby rozłożona; umysł to jedynie może ją rozłożyć, a continuum matematyczne jest właśnie ową mgławicą rozłożoną na gwiazdy.
Aż dotąd jednak nie wprowadziliśmy jeszcze pojęcia liczby wymiarów. Co chcemy powiedzieć, gdy twierdzimy, że jakieś continuum matematyczne lub fizyczne posiada dwa lub trzy wymiary?
Należy przedewszystkiem wprowadzić pojęcie przekroju, rozważając nasamprzód continua fizyczne. Widzieliśmy, że continuum fizyczne charakteryzuje to, że każdy z jego elementów składa się ze zbiorowiska wrażeń, następnie to, że pewien element albo nie daje się odróżnić od pewnego innego, odpowiadającego zespołowi zbyt mało różnych wrażeń elementu tegoż continuum, albo też daje się odeń odróżnić, — że wreszcie zdarzyć się może, że dwa elementy nieodróżnialne od trzeciego dają się jednak odróżnić wzajemnie.
Otóż, jeżeli A i B są dwa elementy odróżnialne pewnego continuum C, będzie zawsze można znaleść szereg elementów
należący do tegoż C i taki mianowicie, że każdy z tych elementów jest nieodróżnialny od poprzedzającego, że E1 nie daje się odróżnić od A i En nie daje się odróżnić od B. Będzie więc można przejść od A do B po drodze ciągłej i nie opuszczając nigdy dziedziny C. Jeżeli warunek ten jest spełniony dla każdej pary elementów A, B należących do C, powiemy, że continuum C jest spójne (d’un seul tenant).
Wyodrębnijmy teraz pewne elementy continuum C, które albo dadzą się wszystkie odróżnić od siebie albo też same stanowić będą jedno lub kilka continuów. Ogół tych elementów stanowić będzie to, co nazwiemy przekrojem lub przekrojami dziedziny ciągłej C.
Weźmy znowu w C dwa jakiekolwiek elementy A i B. Wówczas zdarzy się jedno z dwojga:
Albo będziemy mogli znaleść jeszcze[1] szereg elementów E1, E2, ..., En taki, iż 1°) będą one należały wszystkie do C, 2°) że każdy z nich będzie nieodróżnialny od następnego i E1 nieodróżnialny od A podobnie jak En od B i wreszcie 3°) że żaden element E nie będzie nieodróżnialny względem żadnego z elementów przekroju. Albo też, przeciwnie, w każdym szeregu E1, E2, ..., En czyniącym zadość pierwszym dwóm warunkom znajdzie się zawsze taki element E, który nie da się odróżnić od jednego z elementów przekroju.
W pierwszym wypadku możemy przejść od A do B po drodze ciągłej, nie opuszczając C i nie napotykając przekrojów; w drugim wypadku jest to niemożliwe.
Otóż, jeżeli dla dowolnej pary elementów A, B pomyślanych w C zachodzi zawsze pierwszy wypadek, powiemy że C pozostaje spójnem nie bacząc na przekroje.
Tak więc, jeżeli wybierzemy przekroje w pewien, dowolny zresztą sposób, zdarzy się albo, że continuum pozostanie spójnem, albo też że przestanie niem być; w ostatnim wypadku powiemy, że zostało ono podzielone przez przekroje.
Zauważmy, że wszystkie te określenia opierają się jedynie na tym prostym bardzo fakcie, że dwa zespoły wrażeń bądź to dają się od siebie odróżnić, bądź też nie.
Owóż, jeżeli dla podzielenia jakiegoś continuum wystarcza uważać jako przekroje pewną liczbę elementów, z których każdy jest odróżnialny od reszty, powiadamy, że continuum to jest jednowymiarowe; jeżeli natomiast dla podzielenia go musimy uważać jako przekroje układ elementów, które same też tworzą jedno lub kilka continuów, powiemy, że jest ono wielowymiarowe.
Jeżeli dla podzielenia pewnego continuum C wystarczają przekroje tworzące jedno lub kilka continuów jednowymiarowych, powiemy, że C jest dwuwymiarowe; jeżeli wystarczają przekroje tworzące jedno lub kilka continuów o dwóch najwyżej wymiarach, powiemy, że continuum C jest trójwymiarowe, — i tak dalej.
Dla usprawiedliwienia tych określeń, należy sprawdzić, czy w ten to właśnie sposób geometrowie wprowadzają na samym początku swych dzieł pojęcie trzech wymiarów. Otóż, co się okazuje? Najczęściej określają oni nasamprzód powierzchnie jako granice objętości lub części przestrzeni, linie jako granice powierzchni, punkty jako granice linij, i twierdzą, że procesu tego dalej posunąć nie można.
Jest to taż sama myśl: dla podziału przestrzeni należy mieć przekroje nazywane powierzchniami, dla podziału powierzchni przekroje nazywane liniami, wreszcie dla podziału linij — przekroje, które nazywamy punktami; dalej iść nie można, punktu podzielić nie można; punkt nie stanowi continuum; linie więc, które można podzielić przez przekroje nie będące continuum będą continuami o jednym wymiarze; powierzchnie, które można podzielić przez przekroje ciągłe jednowymiarowe, stanowić będą continua dwuwymiarowe; przestrzeń wreszcie dająca się podzielić zapomocą przekrojów ciągłych dwuwymiarowych, stanowić będzie continuum trójwymiarowe.
Tak więc powyższe nasze określenie nie różni się zasadniczo od zwykłych określeń; chodziło mi tylko o to, aby mu nadać kształt stosowalny nie do continuum matematycznego lecz do jedynie wyobrażalnego continuum fizycznego i aby zachować przy tem zupełną ścisłość.
Zrozumiemy zresztą, że określenie to stosuje się nietylko do przestrzeni, lecz że we wszystkiem, co podpada pod nasze zmysły, odnajdujemy cechy continuum fizycznego, a to pozwoliłoby na tę samą klasyfikacyę; łatwo możnaby tu znaleść przykłady continuów o czterech lub pięciu wymiarach, w znaczeniu powyższego określenia; przykłady te same przez się nasuwają się umysłowi.
Gdyby nie przekraczało to zakresu niniejszej książki, okazałbym wreszcie, jak omówiona powyżej nauka, którą Riemann nazwał Analizą Położenia, wskazuje nam sposoby odróżniania w pośród continuów o jednej i tej samej liczbie wymiarów, i jak ta również klasyfikacya continuów opiera się na rozważaniu przekrojów.
Z tego to pojęcia wyłoniło się pojęcie continuum matematycznego wielowymiarowego podobnie jak continuum fizyczne jednowymiarowe zrodziło continuum matematyczne jednowymiarowe. Wzór
streszczający surowe dane doświadczalne zawierał nieznośną sprzeczność. Aby się od niej uwolnić, należało wprowadzić nowe pojęcie, uwzględniając zresztą cechy istotne wielowymiarowego continuum fizycznego. Continuum matematyczne jednowymiarowe stanowiło jedyną drabinę o nieskończenie wielu szczeblach odpowiadających różnym wartościom, wymiernym lub niewymiernym, jednej i tej samej wielkości. Aby otrzymać continuum matematyczne o n wymiarach, wystarczy wziąć n podobnych drabin, których szczeble odpowiadać będą różnym wartościom n wielkości niezależnych, zwanych spółrzędnemi. Tym sposobem otrzymamy obraz continuum fizycznego o n wymiarach, a obraz ten będzie tak wierny, jakim być może, skoro nie życzymy sobie pozostawić wzmiankowanej dopiero co sprzeczności.
Zdaje się obecnie, że przedłożone na samym początku pytanie jest rozwiązane. Twierdząc — powie ktoś — że przestrzeń ma trzy wymiary, chcemy przez to powiedzieć, że ogół punktów przestrzeni czyni zadość danemu powyżej określeniu trójwymiarowego continuum fizycznego. Zadowolić się tem, znaczyłoby tyleż, co przypuścić, że wiemy, co to jest ogół punktów przestrzeni, a bodaj tylko — punkt przestrzeni.
Otóż, nie jest to tak proste, jakby się mogło wydawać. Wszystkim zdaje się, iż wiedzą, co to jest punkt; uważamy za zbyteczne określać go dlatego właśnie, iż sądzimy, że wiemy to aż nadto dobrze. Zapewne nie można wymagać, abyśmy umieli go określić; wznosząc się bowiem od określenia do określenia, należy wszakże zatrzymać się kiedyś. Lecz kiedy?
Zatrzymamy się, przedewszystkiem, gdy dotrzemy do przedmiotu podpadającego pod nasze zmysły lub takiego, który możemy sobie wyobrazić; określenie stanie się wówczas zbytecznem; nie określamy dziecku np. barana, lecz powiadamy mu: oto baran.
Musimy więc zapytać, czy można sobie wyobrazić punkt przestrzeni. Ci, którzy odpowiadają twierdząco, nie pamiętają o tem, że w rzeczywistości wyobrażają sobie biały punkt zrobiony kredą na czarnej tablicy lub też czarny punkt zrobiony piórem na białym papierze, i że nie mogą sobie nic innego wyobrazić, jak tylko pewien przedmiot, a raczej wrażenia, które wywołałby on na ich zmysłach.
Usiłując wyobrazić sobie punkt, wyobrażają sobie wrażenia, które wywarłyby na nich bardzo małe przedmioty. Zbytecznem jest dodawać, że dwa różne przedmioty, aczkolwiek obadwa bardzo małe, mogą wywołać wrażenia nadzwyczaj różne od siebie; nie zatrzymam się jednak na tej trudności, aczkolwiek wymagałaby ona pewnej dyskusyi.
Nie o to jednak chodzi; nie wystarcza wyobrazić sobie jakiś punkt (un point); należy wyobrazić sobie taki a taki punkt i mieć możność odróżnienia go od innego punktu. Istotnie, aby do pewnego continuum zastosować powyżej wyłuszczone prawidło, zapomocą którego można poznać jego liczbę wymiarów, należy oprzeć się na tym fakcie, że dwa elementy tego continuum bądź to dają się od siebie odróżnić, bądź też nie. Powinniśmy więc umieć w pewnych wypadkach wyobrazić sobie taki a taki element i umieć go odróżnić od innego elementu.
Chodzi o to, czy punkt, który wyobrażałem sobie przed godziną, jest ten sam, który wyobrażam sobie w tej chwili, czy też — różny od niego. Innemi słowy, skąd wiemy, czy punkt zajęty przez przedmiot A w chwili α jest ten sam co punkt zajęty przez przedmiot B w chwili β, albo lepiej jeszcze: cóż to ma znaczyć?
Siedzę w moim pokoju, przedmiot jakiś leży na moim stole; nie ruszam się z miejsca w ciągu sekundy, nikt nie dotyka przedmiotu; czy punkt A zajęty przez ten przedmiot na początku tej sekundy jest identyczny z punktem B, który zajmuje on przy końcu tej sekundy? Bynajmniej: od punktu A do B jest aż 30 kilometrów, albowiem przedmiot nasz towarzyszy ziemi w jej ruchu. Nie możemy wiedzieć, czy przedmiot jakiś, mały bardzo lub nie, nie zmienił swego położenia bezwzględnego w przestrzeni, i nietylko nie możemy tego twierdzić, lecz twierdzenie to nie ma żadnego sensu, a przynajmniej nie może odpowiadać żadnemu zgoła wyobrażeniu.
Skoro tak, możemy zapytać, czy położenie względne pewnego przedmiotu w stosunku do innych przedmiotów uległo zmianie czy też nie, przedewszystkiem zaś, czy zmieniło się położenie względne tego przedmiotu w stosunku do naszego ciała; jeżeli wrażenia, które wywiera na nas ten przedmiot, nie zmieniły się, skłonimy się do sądu, że i to położenie względne nie uległo zmianie; jeżeli natomiast zmieniają się te wrażenia, sądzić będziemy, że przedmiot ten zmienił się bądź to co do swego stanu, bądź też co do położenia względnego. Pozostaje więc do rostrzygnięcia ta jeszcze alternatywa. W Nauce i Hypotezie okazałem, co naprowadziło nas na wyróżnienie zmian położenia. W ciągu dalszym wrócę zresztą do tego przedmiotu. Możemy tedy wiedzieć, czy położenie względne jakiegoś przedmiotu w stosunku do naszego ciała pozostało tem samem czy też nie.
Gdy teraz zobaczymy, że dwa przedmioty zachowały swe położenie względne w stosunku do naszego ciała, wywnioskujemy stąd, że położenie względne tych dwóch przedmiotów, jednego w stosunku do drugiego, również pozostało bez zmiany; do wniosku tego atoli dochodzimy dopiero przez pewne rozumowanie pośrednie. Bezpośrednio bowiem znamy jedynie tylko położenie względne przedmiotów w stosunku do naszego ciała.
Tem bardziej więc, gdy zdaje się nam, iż wiemy (a mniemanie to jest zresztą ułudne), czy zmieniło się położenie bezwzględne przedmiotu, dzieje się to jedynie na mocy rozumowania pośredniego.
Jednem słowem, układem osi spółrzędnych, do których odnosimy w sposób naturalny wszystkie przedmioty zewnętrzne, jest układ osi związany trwale z naszem ciałem, układ, który wszędzie ze sobą przenosimy.
Nie można wyobrazić sobie przestrzeni bezwzględnej; usiłując wyobrazić sobie jednocześnie różne przedmioty i siebie samego w ruchu w przestrzeni bezwzględnej, wyobrażam sobie właściwie siebie samego jako nieruchomego i patrzącego na poruszające się dokoła mnie przedmioty i na człowieka, który względem mnie jest zewnętrznym, którego jednak zgadzam się nazywać sobą.
Czyż trudność rozwiąże się, skoro tylko zgodzimy się na rozważanie wszystkiego w stosunku do tych osi związanych z naszem ciałem? Czy wówczas już wiedzieć będziemy, co to jest punkt, określony tym sposobem przez swe położenie względne w stosunku do nas? Wielu odpowie twierdząco, utrzymując, że »lokalizują« przedmioty zewnętrzne.
Cóż to znaczy? Lokalizować przedmiot — znaczy poprostu: wyobrażać sobie ruchy, jakie należałoby wykonać, aby go dosięgnąć; powiedzmy wyraźniej: nie chodzi tu o wyobrażanie sobie samych przez się ruchów w przestrzeni, lecz jedynie czuć mięśniowych, które towarzyszą tym ruchom, a które bynajmniej nie opierają się na preegzystencyi pojęcia przestrzeni.
Jeżeli dwa różne przedmioty zajmują po sobie to samo położenie względem nas, wrażenia wywarte na nas przez te przedmioty będą bardzo różne; jeśli lokalizujemy je w tym samym punkcie, to poprostu dlatego, że należy wykonać te same ruchy, aby ich dosięgnąć; pozatem nie widzę, co mogłyby one mieć jeszcze wspólnego ze sobą.
Przy danym przedmiocie można jednak pomyśleć sobie wiele różnych szeregów ruchów pozwalających dosięgnąć go. Skoro więc wyobrażamy sobie punkt przez szereg czuć mięśniowych, które towarzyszyłyby pozwalającym go dosięgnąć ruchom, będziemy mieli wiele różnych zupełnie sposobów wyobrażenia sobie jednego i tego samego punktu. Jeżeli nie zadowolimy się tem rozwiązaniem, jeżeli oprócz czuć mięśniowych uciekniemy się do interwencyi czuć wzrokowych na przykład, otrzymamy jeszcze jeden lub dwa sposoby przedstawienia sobie tego samego punktu, a dzięki temu trudność zwiększy się jeszcze. Bądź co bądź nasuwa się następujące pytanie: dlaczego sądzimy, że wszystkie te, tak różne od siebie wyobrażenia przedstawiają jednak ten sam punkt?
Jeszcze jedna uwaga: powiedziałem, że w naturalny sposób odnosimy przedmioty zewnętrzne do własnego naszego ciała, że przenosimy niejako ze sobą wszędzie układ osi, do których odnosimy wszystkie punkty przestrzeni i że układ ten jest jakby niezmiennie związany z naszem ciałem.
Otóż należy zauważyć, że — ściśle rzecz biorąc — możnaby mówić o osiach niezmiennie związanych z ciałem wówczas tylko, gdyby różne części tego ciała były również same ze sobą związane niezmiennie. Ponieważ tak nie jest, powinniśmy, zanim do tych osi fikcyjnych odniesiemy przedmioty zewnętrzne, założyć, że ciało nasze wróciło do tej samej postawy [t. j. do tego samego położenia względnego własnych swych części].
W Nauce i Hypotezie okazałem, że przeważającą rolę w genezie pojęcia przestrzeni odgrywają ruchy naszego ciała. Dla istoty zupełnie nieruchomej nie byłoby ani przestrzeni, ani geometryi; przedmioty zewnętrzne nadaremnie przesuwałyby się naokoło niej, zmian wywołanych we wrażeniach jej przez te przesunięcia istota ta nie przypisywałaby zmianom położenia, lecz poprostu zmianom stanu; istota ta nie miałaby żadnego środka do odróżnienia tych dwóch rodzajów zmian, a odróżnienie to, tak ważne dla nas, nie miałoby nawet dla niej żadnego sensu.
Skutkiem ruchów, które przekazujemy naszym członkom, są zmiany wrażeń wywoływanych na naszych zmysłach przez przedmioty zewnętrzne; mogą się wprawdzie na zmiany te składać też inne przyczyny; wyróżniamy jednak zmiany wywoływane przez własne nasze ruchy i odróżniamy je łatwo od innych dzięki dwóm powodom: 1°) ponieważ są dowolne; 2°) ponieważ towarzyszą im czucia mięśniowe.
Tak więc dzielimy zmiany, którym podlegać mogą nasze wrażenia, na dwie kategorye, które nazwałem niewłaściwem może imieniem: 1°) zmiany wewnętrzne, które są dowolne i którym towarzyszą czucia mięśniowe, i 2°) zmiany zewnętrzne, o cechach przeciwnych.
Spostrzegamy następnie, że pośród zmian zewnętrznych są takie, które dają się sprostować [skorygować] zapomocą pewnej zmiany wewnętrznej sprowadzającej wszystko do stanu pierwotnego, i pewne inne, których tym sposobem skorygować nie można (tak to się dzieje, że gdy przedmiot zewnętrzny przesunął się, możemy przez pewne przesunięcie naszego ciała umieścić się w stosunku do tego przedmiotu w to samo położenie względne i odtworzyć tym sposobem całokształt pierwotnych wrażeń; gdy natomiast przedmiot nie przesunął się lecz doznał zmiany stanu, jest to niemożliwe). Stąd nowe między zmianami zewnętrznemi odróżnienie: te, które dają się w ten sposób korygować, nazywamy zmianami położenia, pozostałe zaś — zmianami stanu.
Weźmy, naprzykład, kulę o jednej połowie niebieskiej, drugiej zaś czerwonej; niechaj nasamprzód zwraca ona ku nam półkulę niebieską, następnie, obróciwszy się dookoła siebie, — półkulę czerwoną. Niechaj teraz naczynie kuliste zawiera ciecz niebieską, która staje się czerwoną dzięki jakiejś reakcyi chemicznej. W obydwu wypadkach czerwona barwa zastąpiła niebieską, — zmysły nasze doznały tych samych wrażeń w tym samym po sobie porządku, pomimo to jednak uważamy dwie te zmiany jako bardzo różne od siebie: pierwsza jest dla nas przesunięciem, druga natomiast zmianą stanu. Dlaczego?
Oto dlatego, że w pierwszym wypadku wystarcza mi obejść kulę dookoła, aby znaleść się naprzeciw półkuli niebieskiej i odtworzyć czucie pierwotne barwy niebieskiej.
Nie dość na tem; gdyby jedna półkula była zieloną zamiast niebieskiej, druga zaś — żółtą zamiast czerwonej, jakże przedstawiałby się dla mnie obrót kuli? Przed chwilą czerwona następowała po niebieskiej, teraz zaś następuje barwa żółta po zielonej; pomimo to jednak powiadam, że obie kule doznały tego samego obrotu, że zarówno jedna jak i druga obróciły się naokoło swych osi; nie mogę wszakże twierdzić, aby zielona tak się miała do żółtej jak czerwona do niebieskiej barwy; skądże więc sądzić mogę, że obie kule doznały tego samego przesunięcia? Oczywiście stąd, że zarówno w jednym jak i w drugim wypadku mogę odtworzyć czucie pierwotne, obchodząc kulę dokoła, wykonywając te same ruchy; wiem zaś, że wykonałem te same ruchy, ponieważ doznałem tych samych czuć mięśniowych; aby to wiedzieć, nie mam więc potrzeby znać zgóry geometryę i przedstawiać sobie ruchy mego ciała w przestrzeni geometrycznej.
Weźmy inny przykład. Przedmiot jakiś przesuwa się przed mojem okiem: obraz jego, który padał najpierw na środek siatkówki, tworzy się następnie na jej brzegu; pierwsze czucie przyniosło mi włókno nerwowe kończące się w środku siatkówki, drugie natomiast dochodzi do mnie przez inne włókno nerwowe biegnące od brzegu siatkówki; dwa te czucia są jakościowo różne; jakżebym je bowiem odróżnił?
Dlaczegóż więc sądzę, że dwa te czucia, jakościowo różne, przedstawiają jeden i ten sam obraz, który się przesunął? Oto dlatego, że mogę okiem śledzić za przedmiotem i przez przesunięcie oka, dowolne i połączone z czuciami mięśniowemi, sprowadzić obraz znowu do środka siatkówki i odtworzyć tym sposobem czucie pierwotne.
Przypuśćmy, że obraz przedmiotu czerwonego przesunął się ze środka A na brzeg B siatkówki, następnie, że obraz przedmiotu niebieskiego przeszedł ze środka A na brzeg B siatkówki; będę sądził, że obadwa te przedmioty doznały tego samego przesunięcia. Dlaczego? Oto dlatego, że zarówno w jednym jak i w drugim wypadku, mógłbym odtworzyć czucie pierwotne, i że w tym celu musiałbym wykonać ten sam ruch oka, a wiedziałbym, że oko moje wykonało ten sam ruch dlatego, że doznałbym tych samych czuć mięśniowych.
Gdybym nie mógł poruszać oka, czyż miałbym jakiś powód do przypuszczenia, że czucie barwy czerwonej na środku siatkówki tak się ma do czucia czerwonej na brzegu siatkówki jak czucie niebieskiej w środku do czucia niebieskiej na brzegu? Miałbym wówczas jedynie tylko cztery czucia jakościowo różne, i gdyby mnie zapytano, czy są one związane ze sobą przez powyższą proporcyę, pytanie to wydawałoby mi się śmiesznem, zupełnie jakgdyby mnie zapytano, czy istnieje podobny stosunek między jakiemś czuciem słuchowem, dotykowem i węchowem.
Rozważmy teraz zmiany wewnętrzne, t. j. te, które powstają z ruchów dowolnych naszego ciała i którym towarzyszą czucia mięśniowe; nasuwają się tu dwie następujące uwagi, analogiczne do tych, które uczyniliśmy względem zmian zewnętrznych.
1°. Mogę przypuścić, że ciało moje przeniosło się z jednego punktu do drugiego, zachowując jednak tę samą »postawę« t. j. tak, iż wszystkie części tego ciała zachowały lub odzyskały to samo położenie względne, pomimo że zmieniło się ich położenie bezwzględne w przestrzeni; mogę również przypuścić, że zmieniło się nietylko położenie mego ciała, lecz również »postawa« jego, że np. ręce moje, pierwotnie zgięte, są obecnie wyprostowane.
Należy więc odróżniać między prostemi zmianami położenia bez zmiany »postawy« a zmianami »postawy«. Jedne i drugie objawiają mi się w postaci czuć mięśniowych. Cóż więc naprowadza mnie do ich odróżniania? Oto ta okoliczność, że pierwsze mogą służyć do sprostowania zmiany zewnętrznej, drugie zaś — nie, a przynajmniej mogą dać jedynie sprostowanie niedoskonałe.
Jest to fakt, który wyłuszczam tak, jak gdybym tłumaczył go komuś, co znałby już geometryę; stąd jednak nie należy wnosić, że aby uczynić to odróżnienie powinnoby się znać już geometryę; zanim ją znam jeszcze, konstatuję fakt (doświadczalnie, że tak powiem), nie mogąc go wytłumaczyć. Aby jednak odróżnić jeden rodzaj zmian od drugiego nie mam potrzeby tłumaczyć tego faktu; wystarcza mi go skonstatować.
Bądź co bądź, wytłumaczenie nie jest trudne. Przypuśćmy, że przesunął się jakiś przedmiot zewnętrzny: jeżeli chcemy, aby różne części naszego ciała odzyskały w stosunku do tego przedmiotu początkowe swe położenie względne, różne te części powinny również odzyskać początkowe swe położenie względne, jedne w stosunku do drugich. Te jedynie zmiany wewnętrzne, które czynić będą zadość ostatniemu warunkowi, nadawać się będą do sprostowania zmiany zewnętrznej wywołanej przez przesunięcie owego przedmiotu. Jeżeli tedy zmieniło się położenie względne mego oka w stosunku do mego palca, będę mógł wprawdzie sprowadzić oko do początkowego położenia względnego w stosunku do przedmiotu i odtworzyć tym sposobem pierwotne czucia wzrokowe, lecz wówczas zmieni się położenie względne palca w stosunku do przedmiotu, tak iż czucia dotykowe nie będą odtworzone.
2°. Stwierdzamy również, że ta sama zmiana zewnętrzna daje się skorygować przez dwie zmiany wewnętrzne odpowiadające różnym od siebie czuciom mięśniowym. Tę również okoliczność mogę skonstatować bez znajomości geometryi: niczego też w tym celu mi nie trzeba, chcę jednak wysłowić ten fakt w języku geometrycznym. Oto, aby przejść z położenia A do położenia B mam do wyboru wiele dróg. Pierwszej z tych dróg odpowiadać będzie szereg S czuć mięśniowych, drugiej — inny szereg S″ czuć mięśniowych, które wogóle będą zupełnie inne, gdyż inne przy nich mięśnie wchodzić będą w grę.
Dlaczegóż uważam dwa te szeregi S i S″ za odpowiadające jednemu i temu samemu przesunięciu A B? Oto dla tego, że za pomocą każdego z nich daje się sprostować ta sama zmiana zewnętrzna. Poza tem nie mają one nic wspólnego.
Rozważmy teraz dwie zmiany zewnętrzne α i β, np. obrót kuli do połowy niebieskiej i czerwonej i obrót kuli do połowy żółtej i zielonej; dwie te zmiany nie mają ze sobą nic wspólnego, jedna z nich bowiem jest dla nas przejściem od niebieskiego do czerwonego, druga — przejściem od żółtego do zielonego. Rozważmy z drugiej strony dwa szeregi S i S″ zmian wewnętrznych; i te nic ze sobą nie będą miały spólnego. Pomimo to jednak powiadam, że α i β i podobnie też S i S″ odpowiadają temu samemu przesunięciu. Dlaczego? Oto dlatego poprostu, że S może skorygować zarówno β jak i α, i dlatego że α daje się sprostować również dobrze przez S″ jak przez S. Nasuwa się tedy pytanie: jeżeli stwierdziłem, że S koryguje α i β, tudzież że S″ koryguje α, czy mogę być pewnym, że S″ koryguje też β? Jedynie doświadczenie może nas pouczyć, czy prawo to się ziszcza. Gdyby nie sprawdzało się ono, w przybliżeniu przynajmniej, nie byłoby ani geometryi, ani przestrzeni, gdyż wówczas nie zależałoby nam zgoła na takiem jak powyższe klasyfikowaniu zmian zewnętrznych i wewnętrznych i na odróżnianiu, naprzykład, zmian stanu od zmian położenia.
Godną uwagi jest ocena roli, jaką w sprawie tej odegrało doświadczenie. Pokazało nam ono, że pewne prawo ziszcza się w przybliżeniu. Nie powiedziało mi ono, jaką jest przestrzeń, ani też, że czyni ona zadość omawianemu warunkowi. Istotnie, wiedzieliśmy już, przed wszelkiem doświadczeniem, że przestrzeń czynić będzie zadość temu warunkowi, albo też, że wcale istnieć nie będzie; nie możemy nawet powiedzieć, aby doświadczenie pouczyło mnie, że geometrya jest możliwa; o tem, te geometrya jest możliwa, wiemy dobrze, gdyż nie zawiera ona sprzeczności; doświadczenie zaś nauczyło nas tylko, że geometrya jest użyteczna.
Pomimo, że wrażenia ruchowe miały, jak widzieliśmy, wpływ przeważający na genezę pojęcia przestrzeni, które bez ich udziału nie powstałoby nigdy, nie będzie jednak bez korzyści, jeżeli zbadamy również rolę wrażeń wzrokowych i kwestyę liczby wymiarów »przestrzeni wzrokowej«, stosując w tym celu do wrażeń tych określenie podane w § 3.
Na samym już wstępie nasuwa się trudność. Rozważmy czucie barwy czerwonej dotykające pewnego punktu siatkówki, z drugiej zaś strony czucie barwy niebieskiej dotykające tegoż punktu siatkówki. Musimy niezawodnie posiadać pewne środki do rozpoznania, że dwa te czucia, jakościowo różne, mają ze sobą coś spólnego. Otóż, według wywodów poprzedniego paragrafu, mogliśmy rozpoznać to jedynie przez ruchy oka i dzięki płynącym stąd uwagom. Gdyby oko było nieruchome, albo też gdybyśmy ruchów jego nie byli świadomi, nie moglibyśmy rozpoznać, że dwa te jakościowo różne czucia mają coś spólnego, nie moglibyśmy wydobyć z nich owej cechy, która nadaje im charakter geometryczny. Czucia wzrokowe bez mięśniowych nie miałyby tedy nic geometrycznego, tak iż rzec można, że niema przestrzeni czysto wzrokowej.
Aby usunąć tę trudność, rozważmy tej samej tylko natury czucia, czerwone naprzykład, a różniące się wzajemnie tylko ze względu na punkt siatkówki, przez podrażnienie którego powstają. Nie mamy, oczywiście, żadnego powodu do uczynienia tak dowolnego wyboru z pośród wszelkich możliwych czuć wzrokowych, do zjednoczenia w jednej klasie wszystkich czuć tej samej barwy, niezależnie od tego, jaki punkt siatkówki zostaje podrażniony. Nie śniłoby się nam o niczem podobnem, gdybyśmy powyżej wskazanym sposobem nie nauczyli się już z góry odróżniać zmiany stanu od zmian położenia, t. j. gdyby oczy nasze były nieruchome. Dwa czucia tej samej barwy dotykające dwóch różnych części siatkówki wydawałyby się nam jakościowo różnemi, z tego samego tytułu, co dwa czucia różnobarwne.
Ograniczając się do czuć czerwonych narzucamy sobie tedy ograniczenie sztuczne i zaniedbujemy systematycznie pewną stronę zagadnienia; jedynie atoli dzięki temu wybiegowi możemy zanalizować przestrzeń wzrokową bez domieszki czuć ruchowych.
Wyobraźmy sobie linię przebiegającą na siatkówce i dzielącą jej powierzchnię na dwie części; wydzielamy czucia czerwone dotykające jakiegokolwiek punktu tej linii, oraz wszystkie te, które odbiegają od nich zbyt mało, aby je można było odróżnić. Ogół tych czuć tworzyć będzie pewnego rodzaju przekrój, który oznaczę przez C i który wystarczy oczywiście do podziału wszystkich wogóle możliwych czuć czerwonych; biorąc mianowicie dwa czucia czerwone dotykające dwóch punktów, z których jeden jest położony po jednej, drugi — po drugiej stronie tej linii, nie będę mógł przejść od jednego z tych czuć do drugiego w sposób ciągły bez napotkania na drodze mej pewnego czucia należącego do przekroju.
Jeżeli więc przekrój ma n wymiarów, całokształt mych czuć czerwonych lub też, jeżeli chcemy, cała przestrzeń wzrokowa będzie miała n + 1 wymiarów.
Wyróżnię teraz czucia czerwone dotykające pewnego punktu przekroju C. Ogół tych czuć stanowić będzie nowy przekrój C′. Ten oczywiście podzieli przekrój C, w tem samem zawsze znaczeniu wyrazu.
Jeżeli więc przekrój C′ ma n wymiarów, przekrój C będzie miał n + 1, cała zaś przestrzeń wzrokowa będzie miała n + 2 wymiary.
Gdyby wszystkie czucia czerwone dotykające tego samego punktu siatkówki były uważane jako identyczne; przekrój C′ redukowałby się do jedynego elementu, miałby więc wymiar 0, przestrzeń tedy wzrokowa miałaby 2 wymiary.
Najczęściej przecież słyszymy, że oko daje nam poczucie trzeciego jeszcze wymiaru i pozwala nam poniekąd rozpoznawać odległość przedmiotów. Otóż, starając się zanalizować to poczucie stwierdzamy, że sprowadza się ono do świadomości bądź to zbieżności oczu, bądź też wysiłku akomodacyjnego, który czyni musculus ciliaris aby ustawić obraz w żądanym punkcie.
Dwa tedy dotykające tego samego punktu siatkówki czucia czerwone byłyby uważane za identyczne wówczas tylko, gdyby towarzyszyło im to samo czucie zbieżności oraz to samo czucie wysiłku akomodacyjnego, albo też przynajmniej czucia zbieżności i czucia akomodacyi dość mało odbiegające od siebie, aby nie można ich było wzajemnie odróżnić.
Z tego więc tytułu sam już przekrój C′ stanowi pewne continuum, przekrój więc C posiada więcej niż jeden wymiar.
Otóż doświadczenie uczy nas, że, gdy dwóm czuciom wzrokowym towarzyszy jedno i to samo czucie zbieżności, towarzyszy im również jedno i to samo czucie akomodacyi.
Jeżeli więc ze wszystkich tych czuć stanowiących przekrój C′, którym towarzyszy pewne określone czucie zbieżności, utworzymy nowy przekrój C″, według powyższego prawa nie dadzą się one odróżnić od siebie i będzie je można uważać jako identyczne; C″ nie będzie więc stanowiło continuum, czyli będzie miało zero wymiarów; ponieważ zaś C″ dzieli C′, przeto C′ ma jeden, C dwa, cała więc przestrzeń wzrokowa — trzy wymiary.
Czyż jednak byłoby tak samo, gdyby z doświadczenia wynikała własność przeciwna, t. j. gdyby pewnemu czuciu zbieżności nie towarzyszyło zawsze jedno i to samo czucie akomodacyi? W tym razie dwa czucia dotykające tego samego punktu siatkówki i związane z tem samem czuciem zbieżności, a więc czucia, które należałyby obadwa do przekroju C″, dałyby się jednak odróżnić, albowiem towarzyszyłyby im dwa czucia akomodacyjne różne od siebie. Wówczas tedy samo C″ stanowiłoby już continuum i posiadałoby jeden (przynajmniej) wymiar, przekrój C′, więc — dwa, C — trzy wymiary; cała więc przestrzeń wzrokowa posiadałaby cztery wymiary.
Powiemyż więc, że doświadczenie pouczyło nas, że przestrzeń ma trzy wymiary, dlatego, że wychodząc właśnie z prawa doświadczalnego doszliśmy do wniosku, że należy przypisać jej trzy wymiary? Lecz wykonaliśmy tylko, że tak powiem, doświadczenie fizyologiczne; a ponieważ nawet wystarczałoby umieścić przed oczyma odpowiednio szlifowane szkła, aby usunąć zgodność między czuciami zbieżności i akomodacyi, — czyż powiemy, że wystarcza włożyć okulary, aby przestrzeń miała cztery wymiary, i że optyk, który je sporządził, wyposażył przestrzeń w jeszcze jeden wymiar? Oczywiście — nie. Możemy jedynie powiedzieć, że doświadczenie nauczyło nas, że wygodnie jest przypisywać przestrzeni trzy wymiary.
Lecz przestrzeń wzrokowa jest tylko częścią przestrzeni, a w samem już pojęciu tej przestrzeni tkwi coś sztucznego, jak objaśniłem już na samym wstępie. Prawdziwą przestrzenią jest przestrzeń ruchowa, i ją to właśnie zbadamy w następnym rozdziale.
