Nauka i Hypoteza/Przyroda/Rachunek prawdopodobieństwa
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Nauka i Hypoteza |
| Część | Przyroda |
| Rozdział | Rachunek prawdopodobieństwa |
| Redaktor | Ludwik Silberstein |
| Wydawca | G. Centnerszwer i Ska. |
| Data wyd. | 1908 |
| Druk | Drukarnia Narodowa w Krakowie |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Tłumacz | Maksymilian Horwitz |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Cały tekst |
| Indeks stron | |
Zdziwi to może kogo, że znajdzie na tym miejscu refleksye nad rachunkiem prawdopodobieństwa. Cóż ma on wspólnego z metodą nauk fizycznych?
A jednak kwestye, które poruszę poniżej, nie dając ich rozwiązania, nasuwają się w sposób naturalny filozofowi, rozmyślającemu nad fizyką.
I to w takim stopniu, że w dwu poprzedzających rozdziałach wypadło nam kilkakrotnie użyć wyrazów »prawdopodobieństwo« i »przypadek«.
»Fakty przewidywane«, powiedziałem wyżej, »mogą być tylko prawdopodobne. Jakkolwiek mocno ugruntowanym mogłoby się nam wydawać dane przewidywanie, nie jesteśmy nigdy zupełnie pewni, że doświadczenie nie zada mu kłamu. Lecz prawdopodobieństwo jest często dość wielkie, byśmy się nim mogli w praktyce zadowolić«.
A niżej nieco, dodałem:
»Zobaczmy, jaką rolę odgrywa w naszych uogólnieniach wiara w prostotę. Sprawdziliśmy pewne proste prawo w wielkiej liczbie wypadków szczególnych; wzdragamy się przypuścić, by ta tak często napotykana zgodność była poprostu rzeczą przypadku...«
Tak więc w bardzo wielu okolicznościach fizyk znajduje się w tym samym położeniu, co gracz, ważący swe szanse. Ilekroć rozumuje on sposobem indukcyi, tylekroć posługuje się mniej lub więcej świadomie rachunkiem prawdopodobieństwa.
Dlatego to muszę otworzyć nawias i zawiesić nasz rozbior metody w naukach fizycznych, aby zbadać nieco bliżej, jaka jest wartość tego rachunku i na jakie zasługuje on zaufanie.
Sama nazwa rachunku prawdopodobieństwa jest paradoksem: prawdopodobieństwo, przeciwstawione pewności, oznacza, że się czegoś nie wie, jakże więc można obrachowywać to, czego się nie zna? A przecież wielu wybitnych uczonych zajmowało się tym rachunkiem i niepodobna zaprzeczyć, że nauka odniosła stąd pewną korzyść. Jakże wytłumaczyć tę pozorną sprzeczność?
Czy prawdopodobieństwo zostało określone? Czy wogóle daje się ono określić? Jeśli zaś nie, to jakże odważają się ludzie o nim rozumować? Określenie tego pojęcia, powie kto, bardzo jest proste: prawdopodobieństwo danego faktu jest to stosunek liczby wypadków, sprzyjających temu faktowi, do ogólnej liczby wypadków możliwych.
Prosty przykład okaże, w jakim stopniu określenie to jest niezupełne. Rzucamy dwie kości; jakie jest prawdopodobieństwo, by przynajmniej jedna z kości dała szóstkę? Każda kość może dać sześć różnych liczb: liczba wypadków możliwych wynosi 6 × 6 = 36; liczba wypadków sprzyjających wynosi 11; prawdopodobieństwo równa się przeto 1136.
Powyższe rozwiązanie jest rzeczywiście poprawne. Ale czy nie moglibyśmy równie dobrze rozumować tak oto: Liczby, które dadzą obie kości, mogą tworzyć 6 × 72 = 21 rożnych kombinacyi: wśród tych kombinacyi 6 jest sprzyjających; prawdopodobieństwo wynosi 621.
Dlaczego pierwszy sposób wyliczania wypadków możliwych jest słuszniejszy niż drugi. W każdym razie odpowiedzi na to nie dostarczy nam nasze określenie.
Zmuszeni więc jesteśmy dopełnić to określenie tak oto: »...do liczby ogólnej wypadków możliwych, o ile wypadki te są jednakowo prawdopodobne«. Doprowadza to nas więc do określenia prawdopodobieństwa przez prawdopodobieństwo.
W jakiż sposób będziemy wiedzieli, że dwa wypadki możliwe są jednakowo prawdopodobne? Czy drogą umowy? Jeśli na czele każdego zagadnienia sformułujemy wyraźną umowę, wszystko pójdzie dobrze; pozostanie nam tylko stosowanie prawideł arytmetyki i algebry, a doprowadzimy rachunek do końca i otrzymamy wynik, stojący ponad wszelką wątpliwością. Skoro wszakże zechcemy przejść do najmniejszego bodaj zastosowania tego wyniku, wypadnie nam okazać, że umowa nasza była uprawniona, staniemy więc znowu przed tą samą trudnością, którą chcieliśmy obejść.
Powie kto, że zdrowy rozsądek wystarcza, byśmy zmiarkowali, jaką ma być owa umowa? Niestety, tak nie jest. Bertrand okazał to na następującym prostym przykładzie: »Jakie jest prawdopodobieństwo, że cięciwa, wzięta na chybi-trafi w danym okręgu, jest większa niż bok wpisanego równobocznego trójkąta?« Znakomity ten matematyk przyjął kolejno dwie umowy, które, jak się zdawało, z jednakową słusznością można było uważać za narzucone przez zdrowy rozsądek: jedna dała mu jako wynik 12, druga 13.
Z wszystkiego tego zdaje się wypływać wniosek, że rachunek prawdopodobieństwa jest nauką czczą, że należy odnosić się z nieufnością do owego niejasnego instynktu, który nazywamy zdrowym rozsądkiem i który miałby uprawniać nasze umowy.
Ale i na ten wniosek nie możemy się pisać; bez owego niejasnego instynktu nie możemy się obejść; bez niego nauka byłaby niemożliwa, bez niego nie moglibyśmy odkryć żadnego prawa ani go stosować. Czyż wolno nam, naprzykład, wypowiadać prawo Newtona? Zapewne, liczne obserwacye znajdują się z nim w zgodności, lecz czy nie jest to prostym przypadkiem? skąd zresztą wiemy, że prawo to, lubo prawdziwe od wielu wieków, będzie nim jeszcze w roku przyszłym? Na zarzuty te nie znajdziemy innej odpowiedzi jak tę: »Jest to bardzo mało prawdopodobne«.
Przyjmijmy jednak to prawo; zdaje nam się, że dzięki niemu możemy wyliczyć położenie Jowisza za rok. Mamyż prawo tak mniemać? Kto nam zaręczy, że w ciągu tego czasu jakaś olbrzymia masa, ożywiona ogromną prędkością, nie przebiegnie poprzez układ słoneczny i nie wywoła nieprzewidzianych zakłóceń? I tutaj również niema innej odpowiedzi jak: »Jest to bardzo mało prawdopodobne«.
W myśl tego wszystkie nauki byłyby tylko nieświadomemi zastosowaniami rachunku prawdopodobieństwa; wyrok, wydany na ten rachunek, byłby przeto wyrokiem wydanym na całą naukę.
Wspomnę tu tylko, dłużej się nad niemi nie zastanawiając, o zagadnieniach naukowych, w których udział rachunku prawdopodobieństwa bardziej jest widoczny. Takim jest w pierwszej linii zagadnienie interpolacyi, w którym znając pewne wartości funkcyi, staramy się odgadnąć wartości pośrednie.
Wymienię również: słynną teoryę błędów obserwacyi, do której powrócę niżej; teoryę kinetyczną gazów, znaną hypotezę, w której przypuszcza się, że każda cząsteczka gazu przebiega drogę niezmiernie skomplikowaną, a pomimo to mocą prawa wielkich liczb zjawiska przeciętne, które jedynie są dla nas postrzegalne, ulegają prostym prawom Mariotte’a i Gay Lussaca.
Wszystkie te teorye oparte są na prawach wielkich liczb, i obalenie rachunku prawdopodobieństwa wywołałoby oczywiście i ich wypadek. Przyznać wprawdzie należy, że przedstawiają one jedynie interes specyalny i że, wyłączając interpolacyę, są to ofiary, z któremi możnaby się pogodzić.
Ale, jak powiedziałem już wyżej, chodziłoby nietylko o te ofiary częściowe: zagrożoną byłaby prawowitość całej nauki.
Wiem wprawdzie, że możnaby na to odpowiedzieć: »Jesteśmy w nieświadomości, a jednak musimy działać. Aby działać, nie mamy czasu oddać się badaniom, wystarczającym do rozproszenia naszej nieświadomości; zresztą badania takie wymagałyby czasu nieskończonego. Musimy więc decydować się stanowić, nie wiedząc; trzeba to robić trochę poomacku i stosować się do pewnych prawideł, zbytnio w nie nie wierząc. Jeśli wiemy co, to nie, że to a to jest prawdziwe, lecz że najlepiej dla nas będzie, gdy będziemy działali tak, jak gdyby to było prawdziwe«. Rachunek prawdopodobieństwa, a więc też i nauka miałyby jedynie wartość praktyczną.
Na nieszczęście trudność nie zostaje w ten sposób pokonana: przypuśćmy, że pewien gracz chce zaryzykować stawkę i prosi nas o radę. Jeśli mu jej udzielimy, oprzemy się na rachunku prawdopodobieństwa, lecz nie zaręczymy mu za powodzenie. Mamy tu to, co nazwałbym prawdopodobieństwem subjektywnym. W tym wypadku możnaby się zadowolić powyżej naszkicowanym wytłumaczeniem. Przypuśćmy wszakże, iż ktoś obserwuje grę, notuje wszystkie kolejne wypadki, a gra trwa długo; gdy zrobi on bilans swoich notatek, stwierdzi, że rozkład tych wypadków odbył się zgodnie z prawami rachunku prawdopodobieństwa. Będziemy tu mieli to, co nazwałbym prawdopodobieństwem objektywnym, i to właśnie zjawisko wymagałoby wytłumaczenia.
Istnieją liczne towarzystwa asekuracyjne, stosujące prawidła rachunku prawdopodobieństwa, i rozdają swoim akcyonaryuszom dywidendy, których objektywnej rzeczywistości nikt nie będzie podawał w wątpliwość. Dla wytłumaczenia ich nie wystarczy odwołać się do faktu naszej nieświadomości połączonej z koniecznością działania.
Tak więc zupełny sceptycyzm nie może się tu ostać; powinniśmy żywić pewną nieufność, ale nie wolno nam potępiać w czambuł; narzuca się potrzeba bardziej szczegółowego rostrząsania.
I. — Klasyfikacya zagadnień o prawdopodobieństwach. — Przy klasyfikowaniu zagadnień dotyczących prawdopodobieństw, można rozpatrywać je z kilku różnych punktów widzenia, a przedewszystkim z punktu widzenia ogólności. Powiedziałem wyżej, że prawdopodobieństwo jest to stosunek liczby wypadków sprzyjających do liczby wypadków możliwych. To, co w braku lepszego terminu nazywam »ogólnością«, będzie rosło wraz z liczbą wypadków możliwych. Liczba ta może być skończona; np. przy rzucaniu dwu kości, gdy liczba wypadków możliwych wynosi 36. Stanowi to pierwszy stopień ogólności.
Gdy natomiast pytamy, jakie jest np. prawdopodobieństwo, żeby punkt wewnętrzny względem danego koła, leżał zarazem wewnątrz wpisanego doń kwadratu, to mamy tyleż wypadków możliwych, ile jest punktów w kole, to jest nieskończoność. Jest to drugi stopień ogólności. Ale ogólność może być jeszcze większa: zadajmy sobie pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo, by pewna funkcya czyniła zadość danemu warunkowi; mamy wówczas tyle wypadków możliwych, ile można wymyślić rozmaitych funkcyi. Jest to trzeci stopień ogólności, którego dosięgamy wówczas, gdy np. chcemy odgadnąć najprawdopodobniejsze prawo, opierając się na skończonej liczbie obserwacyi.
Można rozpatrywać zagadnienia o prawdopodobieństwach z całkiem innego punktu widzenia. Gdybyśmy nie byli w nieświadomości, nie byłoby żadnych prawdopodobieństw, mielibyśmy do czynienia jedynie z pewnością; lecz nieświadomość nasza nie może być zupełną, bo w takim razie nie byłoby również prawdopodobieństw, albowiem trzeba choć trochę światła, by zdobyć bodaj tę niepewną wiedzę. W ten sposób zagadnienia o prawdopodobieństwach można klasyfikować według mniejszego lub większego stopnia naszej nieświadomości.
Już w matematyce można sobie stawiać zagadnienia o prawdopodobieństwach. Jakie jest prawdopodobieństwo, by 5-a cyfra dziesiętna logarytmu, wziętego na chybi-trafi w tablicy, była 9? Każdy odpowie bez wahania, że prawdopodobieństwo to wynosi 110. W danym wypadku jesteśmy w posiadaniu wszystkich danych zagadnienia; umielibyśmy wyliczyć nasz logarytm bez uciekania się do tablicy: ale nie chcemy sobie zadać tego trudu. Jest to pierwszy stopień nieświadomości.
W naukach fizycznych nieświadomość nasza jest już większa. Stan układu w danej chwili zależy od dwu rzeczy: od jego stanu początkowego i od prawa, według którego stan ten się zmienia. Gdybyśmy znali i to prawo i ów stan początkowy, pozostawałoby nam jedynie rozwiązanie pewnego zagadnienia matematycznego: mielibyśmy zatym znowu ów pierwszy stopień nieświadomości.
Zdarza się atoli często, że zna się prawo, a nie zna stanu początkowego. Weźmy np. pytanie, jaki jest rozkład obecny małych planet; wiemy, że stosowały się one zawsze do praw Keplera, lecz nie wiemy, jaki był ich rozkład początkowy.
W teoryi kinetycznej gazów, przypuszcza się, że cząsteczki gazowe poruszają się po drogach prostolinijnych, i posłuszne są prawom zderzeń ciał sprężystych; ponieważ wszakże nie wiemy nic o ich prędkościach początkowych, nie wiemy również nic o ich prędkościach obecnych.
Jedynie rachunek prawdopodobieństwa pozwala na przewidywanie zjawisk przeciętnych, wynikających z kombinacyi tych prędkości. Jest to drugi stopień nieświadomości.
Zdarzyć się wreszcie może, że nietylko warunki początkowe nie są nam wiadome, lecz również same prawa; wpadamy w ten sposób w trzeci stopień nieświadomości, i natenczas naogół nie można twierdzić nic co do prawdopodobieństwa pewnego zjawiska.
Zdarza się często, że zamiast przewidywania jakiegoś faktu na podstawie mniej lub więcej niedoskonałej znajomości prawa, które nim rządzi, znamy właśnie fakty i usiłujemy odgadnąć prawo; że zamiast wyprowadzania skutków z przyczyn chce się wyprowadzić przyczyny ze skutków. Są to tak zwane zagadnienia o prawdopodobieństwie przyczyn, najbardziej interesujące ze względu na swe zastosowania naukowe.
Gram w écarté z człowiekiem, o którym wiem, że jest zupełnie uczciwy; na niego kolej; jakie jest prawdopodobieństwo, że odwróci on króla? wynosi ono 18; jest to zagadnienie o prawdopodobieństwie skutków. Gram z panem, którego nie znam; na 10 razy 6 razy odwrócił króla; jakie jest prawdopodobieństwo, że pan ten jest szulerem? jest to zagadnienie o prawdopodobieństwie przyczyn.
Można powiedzieć, że jest to zasadnicze zagadnienie metody doświadczalnej. Zaobserwowaliśmy n wartości x i odpowiadające im wartości y; stwierdziliśmy, że stosunek drugich do pierwszych jest przybliżenie stały. Oto fakt; jaka jest jego przyczyna?
Czy jest prawdopodobne, że istnieje prawo ogólne, według którego y jest proporcyonalne do x, a drobne odchylenia pochodzą od błędów obserwacyi? Tego typu pytania stawiamy ustawicznie i nieświadomie rozwiązujemy, ilekroć traktujemy w sposób naukowy dane doświadczalne.
Dokonamy teraz przeglądu tych rozmaitych kategoryi zagadnień, biorąc kolejno pod uwagę scharakteryzowane powyżej prawdopodobieństwo subjektywne i prawdopodobieństwo objektywne.
II. — Prawdopodobieństwo w naukach matematycznych. — Niemożliwość kwadratury koła jest dowiedziona od r. 1883-go; ale na długo już przed świeżą tą datą wszyscy matematycy uważali tę niemożliwość za tak »prawdopodobną«, że paryska Akademia Umiejętności odrzucała bez rozpatrzenia zbyt liczne, niestety, rozprawy, które nadsyłali jej w tym przedmiocie rozmaici nieszczęśliwi obłąkańcy.
Czy Akademia nie miała racyi? Oczywiście, że tak, i wiedziała ona dobrze, iż, postępując w ten sposób, nie narażała się bynajmniej na zduszenie jakiegoś poważnego odkrycia. Nie mogłaby ona dowieść, że miała słuszność; ale wiedziała dobrze, że instynkt jej nie zwodzi. Gdybyście zapytali o to członków akademii, odpowiedzieliby wam: »Zestawiliśmy prawdopodobieństwo, że nieznany badacz odkrył to, czego szuka się napróżno od tylu wieków, z prawdopodobieństwem, że zjawił się jeszcze jeden obłąkany na kuli ziemskiej; i to drugie wydało nam się większym«. Są to bardzo dobre racye, ale niema w nich nic matematycznego, są one czysto psychologiczne.
A gdybyście natarczywiej ich pytali, dodaliby: »Dlaczegoż to pewna wartość szczególna pewnej funkcyi przestępnej ma być liczbą algebraiczną? i gdyby π było pierwiastkiem pewnego równania algebraicznego, to dlaczegóżby pierwiastek ten miał być peryodem funkcyi sin 2x, i dlaczego nie miałyby posiadać tej własności również wszystkie inne pierwiastki tego równania? Słowem powołaliby się na zasadę dostatecznego powodu w najbardziej mglistej jej postaci.
Cóż wszakże mogli stąd wywnioskować? Co najwyżej regułę postępowania przy korzystaniu ze swego czasu, który pożyteczniej było obracać na zwykłe ich prace niż na czytanie elukubracyi, budzącej w nich uzasadnioną nieufność. Lecz to, co nazwaliśmy prawdopodobieństwem objektywnym, niema nic wspólnego z tym pierwszym zagadnieniem.
Inaczej rzecz się ma z zagadnieniem drugim.
Rozważmy 10000 pierwszych logarytmów zawartych w danej tablicy. Z pośród tych 10000 logarytmów weźmy jeden na chybi — trafi: jakie jest prawdopodobieństwo, że trzecia jego cyfra dziesiętna będzie parzysta? Odpowiecie bez wahania, że wynosi ono 12, i w rzeczy samej, jeśli zbadacie w tablicy trzecie cyfry dziesiętne tych 10000 liczb, znajdziecie mniej więcej tyleż cyfr parzystych, co nieparzystych.
Albo też, jeśli kto woli, napiszmy 10000 liczb, odpowiadających naszym 10000 logarytmom, tak iż każdemu logarytmowi, którego trzecia cyfra dziesiętna jest parzysta, odpowiada liczba +1, w razie zaś przeciwnym -1. Weźmy następnie przeciętną z tych 10000 liczb.
Nie zawahałbym się powiedzieć, że przeciętna z tych 10000 liczb jest prawdopodobnie równa zeru, i gdybym rzeczywiście ją obliczył, sprawdziłoby się, że jest ona bardzo niewielka.
Próba ta byłaby nawet zbyteczna. Mógłbym dowieść ściśle, że przeciętna ta jest mniejsza niż 0,003. Dla przeprowadzenia tego dowodu musiałbym wykonać bardzo długi rachunek, którego nie mogę tutaj przytaczać: ograniczę się więc tylko odesłaniem do mego artykułu, pomieszczonego w Revue générale des Sciences 15 kwietnia 1899 r. Jedyny punkt, na który muszę zwrócić uwagę, jest następujący: w rachunku tym oparłem się na dwu tylko faktach, mianowicie, że pochodne pierwsza i druga logarytmu, dla rozważanych liczb, są zawarte między pewnemi granicami.
Wypływa stąd odrazu wniosek, że własność powyższa stosuje się nietylko do logarytmów lecz do każdej funkcyi ciągłej, gdyż pochodne każdej funkcyi ciągłej są ograniczone.
Jeśli z góry byłem pewien tego wyniku, to przedewszystkim dlatego, że często obserwowałem analogiczne fakty w wypadku innych funkcyi ciągłych; następnie i dlatego, że w głębszych pokładach mego umysłu przeprowadzałem w sposób mniej lub więcej nieświadomy i niedoskonały rozumowanie, które mnie doprowadziło do powyższych nierówności, podobnie jak wytrawny rachmistrz zanim dokończy mnożenia, zdaje sobie sprawę z tego, że »wyniesie to mniej więcej tyle a tyle«.
Zresztą, ponieważ to, co nazwałem moją intuicyą, było poprostu niezupełnym szkicem prawdziwego rozumowania, tedy tłumaczy się, że obserwacya potwierdziła nasze przewidywania, że prawdopodobieństwo objektywne okazało się zgodnym z prawdopodobieństwem subjektywnym.
Jako trzeci przykład wybierzemy zagadnienie następujące: Niechaj u będzie liczbą wziętą na chybi-trafi, n daną liczbą całkowitą, bardzo wielką; jaka jest wartość prawdopodobna sin nu? Zagadnienie to samo przez się nie ma żadnego sensu. Żeby mu sens nadać, trzeba zrobić umowę; umówimy się, że prawdopodobieństwo, by liczba u była zawarta między a i a + da równa się φ (a) da; że zatym jest ono proporcyonalne do rozległości nieskończenie małego odstępu da i równa się tej rozległości, pomnożonej przez funkcyę φ (a), zależą jedynie od a. Funkcyę tę obieram dowolnie, z tym jedynie zastrzeżeniem, by była ciągła. Ponieważ wartość sin nu pozostaje niezmieniona, gdy u zwiększa się o 2π, możemy, nie uszczuplając ogólności, przypuścić, że u jest zawarte między 0 i 2π, co naprowadza nas na założenie, że φ(α) jest funkcyą peryodyczną o okresie 2π.
Szukana wartość prawdopodobna da się bez trudności wyrazić w postaci prostej całki, i łatwo da się okazać, że całka ta jest mniejsza niż
gdzie Mk oznacza największą wartość k-tej pochodnej φ(u). Widzimy tedy, że jeśli pochodna rzędu k jest skończona, nasza wartość prawdopodobna zdążać będzie do zera, gdy n będzie rosło nieograniczenie, i to prędzej niż 1nk-1.
Wartość prawdopodobna sin nu dla n bardzo wielkiego równa się tedy zeru; aby oznaczyć tę wartość potrzebowaliśmy pewnej umowy; lecz wynik pozostaje taki sam, niezależnie od tego jaka była ta umowa. Narzuciliśmy sobie nieznaczne ograniczenia, przypuszczając, że funkcya φ(α) jest ciągła i peryodyczna, a założenia te są tak naturalne, że doprawdy trudno byłoby ich uniknąć.
Rozpatrzenie trzech poprzedzających przykładów, tak różnych pod każdym względem, pozwoliło nam domyślić się z jednej strony, jaka jest rola zasady, zwanej przez filozofów zasadą dostatecznego powodu, z drugiej zaś — jaka jest doniosłość faktu, iż pewne własności wspólne są wszystkim funkcyom ciągłym. Zbadanie prawdopodobieństwa w naukach fizycznych doprowadzi nas do tego samego wyniku.
III. — Prawdopodobieństwo w naukach fizycznych. — Przystąpmy teraz do zagadnień, ściągających się do tak nazwanego przez nas drugiego stopnia nieświadomości: do tych mianowicie, w których znamy prawo, lecz nie znamy stanu początkowego układu. Moglibyśmy tu mnożyć przykłady, ale weźmiemy z nich tylko jeden: Jakie jest prawdopodobne rozmieszczenie obecne małych planet na pasie zwierzyńcowym?
Wiemy, że ulegają one prawom Keplera; możemy nawet, nie zmieniając w niczym natury zagadnienia, przypuścić, że wszystkie ich orbity są koliste i leżą w jednej płaszczyźnie, i że wiemy o tym. Nie wiemy natomiast zgoła
jakie było ich rozmieszczenie początkowe. Pomimo to nie wahamy się twierdzić, że dzisiaj rozmieszczenie to jest jednostajne. Dlaczego?
Niechaj b będzie długością jednej z małych planet w chwili początkowej, czyli w chwili zero; niech a oznacza jej ruch średni; jej długość w chwili obecnej, tj. w chwili t, będzie at + b. Gdy mówimy, ze rozkład obecny jest jednostajny, mówimy, że wartość średnia wstaw i dostaw wielokrotności at + b jest równa zeru. Dlaczego twierdzimy, że tak jest?
Wyobraźmy każdą małą planetę przez punkt w płaszczyźnie, mianowicie przez punkt, którego spółrzędnemi są właśnie a i b. Wszystkie te punkty będą zawarte w pewnym obszarze płaszczyzny, a że są one bardzo liczne, obszar ten będzie wyglądał, jak usiany punktami. Nie wiemy zresztą nic o rozmieszczeniu tych punktów.
Jakże zastosować rachunek prawdopodobieństwa do podobnej kwestyi? Jakie jest prawdopodobieństwo, by jeden lub kilka z owych punktów reprezentacyjnych znajdowało się w określonej części płaszczyzny? W nieświadomości naszej zmuszeni jesteśmy uciec się do jakiegoś dowolnego przypuszczenia. Aby wytłumaczyć istotę tego przypuszczenia, niechaj nam będzie wolno użyć zamiast formuły matematycznej, obrazu przybliżonego, lecz konkretnego. Wyobraźmy sobie, żeśmy pokryli naszą płaszczyznę warstwą materyi o gęstości zmiennej, lecz zmieniającej się w sposób ciągły. Umówimy się natenczas, że ilość prawdopodobną punktów reprezentacyjnych, zawartych w danej części płaszczyzny, będziemy uważali za proporcyonalną do ilości materyi fikcyjnej, jaka ją pokrywa. Jeśli tedy weźmiemy dwa obszary płaszczyzny o jednakowej rozciągłości, prawdopodobieństwa, by punkt reprezentacyjny jednej z naszych małych planet znajdował się w jednym lub w drugim z tych obszarów, będą się do siebie miały jak gęstości średnie materyi fikcyjnej w jednym lub drugim obszarze.
Mamy tedy dwa rozmieszczenia: jedno rzeczywiste, w którym punkty reprezentacyjne są bardzo liczne, bardzo gęste lecz odosobnione jak cząsteczki materyi w hypotezie atomistycznej; drugie, dalekie od rzeczywistości, w którym nasze punkty reprezentacyjne są zastąpione przez fikcyjną ciągłą materyę. Wiemy, że drugie to rozmieszczenie nie może być rzeczywiste, lecz nieświadomość nasza skazuje nas na przyjęcie go.
Gdybyśmy jeszcze mieli jakie pojęcie o rzeczywistym rozmieszczeniu punktów reprezentacyjnych, moglibyśmy urządzić się tak, by na obszarze o pewnej rozciągłości gęstość tej fikcyjnej ciągłej materyi była przybliżenie proporcyonalna do ilości punktów reprezentacyjnych albo, jeśli kto woli, atomów, zawartych w tym obszarze. Lecz nawet to nie jest możliwe, i nieświadomość nasza tak jest wielka, że zmuszeni jesteśmy obrać dowolnie funkcyę określającą gęstość naszej fikcyjnej materyi. Jednym tylko, nieuniknionym, będziemy się musieli skrępować założeniem; przypuścimy mianowicie, że funkcya ta jest ciągła. Wystarczy to, jak zobaczymy, aby dojść do określonego wniosku.
Jakie jest w chwili t rozmieszczenie prawdopodobne małych planet? Albo te, jaka jest prawdopodobna wartość wstawy długości w chwili t, to znaczy sin (at + b)? Zrobiliśmy na początku pewną dowolną umowę, lecz skorośmy się na nią zgodzili, ta wartość prawdopodobna całkowicie jest oznaczona. Rozłóżmy płaszczyznę na elementy powierzchni. Rozważmy wartość sin (at + b) w punkcie środkowym każdego z tych elementów; pomnóżmy tę wartość przez powierzchnię elementu i przez odpowiadającą mu gęstość materyi fikcyjnej; weźmy następnie sumę tych iloczynów odpowiadających wszystkim elementom płaszczyzny. Mocą określenia suma ta da nam szukaną wartość przeciętną, która zostanie w ten sposób wyrażona zapomocą całki podwójnej.
Wydawać by się mogło, że ta wartość przeciętna zależeć będzie od wyboru funkcyi φ, określającej gęstość materyi fikcyjnej i że, wobec tego, iż funkcya ta φ jest dowolna, będziemy mogli otrzymać taką lub inną wartość w zależności od wyboru, jaki zrobimy. Pogląd taki zupełnie byłby błędny.
Prosty rachunek okazuje, że nasza całka podwójna maleje bardzo szybko w miarę tego jak t rośnie.
Tak tedy nie wiedzieliśmy, jakie zrobić założenie co do prawdopodobieństwa takiego lub innego rozmieszczenia początkowego; ale jakimkolwiek będzie to założenie, dojdziemy zawsze do tego samego wyniku, i to nas wybawia z kłopotu.
Jakąkolwiek będzie funkcya φ, wartość przeciętna zdąża do zera, gdy t rośnie, że zaś małe planety dokonały z pewnością bardzo wielkiej ilości obiegów, możemy twierdzić, że wartość ta przeciętna jest bardzo mała.
Możemy wybrać φ, jak nam się podoba, z jednym tylko ograniczeniem: funkcya ta musi być ciągła; i w rzeczy samej z punktu widzenia prawdopodobieństwa subjektywnego wybór funkcyi nieciągłej byłby nierozumny; jaką bowiem racyą miałbym np. przypuścić, że długość początkowa może się równać dokładnie 0° a nie może być zawarta między 0° i 1°?
Ale trudność zjawia się znowu, skoro stajemy na stanowisku prawdopodobieństwa objektywnego; skoro przechodzimy od naszego rozmieszczenia urojonego, w którym przypuściliśmy, że materya fikcyjna jest ciągła, do rozmieszczenia rzeczywistego, w którym nasze punkty reprezentacyjne tworzą jakby odosobnione atomy.
Wartość przeciętna sin (at + b) wyrazi się poprostu przez
gdzie n oznacza liczbę małych planet. Zamiast całki podwójnej, odnoszącej się do funkcyi ciągłej, mamy sumę odrębnych wyrazów. A przecież nikt nie będzie poważnie wątpił o tym, że ta wartość przeciętna jest bardzo mała.
Dlatego mianowicie, że ponieważ nasze punkty reprezentacyjne rozsiane są bardzo gęsto, owa suma wyrazów odrębnych bardzo mało będzie się naogół różniła od całki.
Całka jest granicą, do której zdąża suma wyrazów, gdy liczba tych wyrazów rośnie nieograniczenie. Skoro wyrazy są bardzo liczne, suma różnić się będzie bardzo mało od swej granicy, to jest od całki, i to, co powiedzieliśmy o tej całce, będzie się również stosowało do owej sumy.
wszystkie planety miałyby w chwili t długość π2, i wartość średnia byłaby oczywiście równa 1. W tym celu trzebaby było, by w chwili o wszystkie małe planety były umieszczone na pewnego rodzaju linii wężowej (spiralnej) o bardzo gęstych zwojach. Każdy uzna, że takie rozmieszczenie początkowe jest wysoce nieprawdopodobne (a gdyby nawet tak było rzeczywiście, to rozmieszczenie nie byłoby jednostajne w chwili obecnej, np. 1 stycznia r. 1900-go, lecz stałoby się nim kilka lat później).
Atoli, dlaczego uważamy takie rozmieszczenie początkowe za nieprawdopodobne? Koniecznie należy to wytłumaczyć, albowiem gdybyśmy nie mieli podstawy do odrzucenia, jako nieprawdopodobnego, tego niedogodnego przypuszczenia, wszystko zapadłoby się i nie moglibyśmy już nic twierdzić o prawdopodobieństwie takiego lub innego obecnego rozmieszczenia.
Odwołamy się i tutaj do zasady dostatecznego powodu, do której zawsze wypada nam powracać. Moglibyśmy przypuścić, że na początku planety były rozmieszczone w przybliżeniu na linii prostej; moglibyśmy przypuścić, że były one rozmieszczone nieprawidłowo; ale zdaje nam się, że niema dostatecznej racyi, by nieznana przyczyna, która je utworzyła, kazała im rozmieścić się wzdłuż krzywej tak prawidłowej a zarazem tak skomplikowanej, krzywej, która zdawałaby się być specyalnie wybraną po to, by rozmieszczenie obecne nie było jednostajne.
IV. — „Rouge et noir“. — Zagadnienia, związane z grami hazardowemi, jak gra w ruletę, są w gruncie rzeczy zupełnie analogiczne do powyższych.
Weźmy np. okrągłą tarczę, podzieloną na wielką liczbę równych wycinków, kolejno zabarwionych na czerwono i czarno; strzałkę, obracającą się na osi umocowanej w środku tarczy, wprawia się ją w ruch obrotowy; po dokonaniu wielkiej liczby obrotów zatrzymuje się ona przed jedną z podziałek. Prawdopodobieństwo, by podziałka ta była czerwona, wynosi oczywiście 12.
Strzałka obróci się o kąt θ, zawierający kilka okręgów; nie wiemy, jakie jest prawdopodobieństwo, że siła, z jaką puszczona będzie strzałka, będzie taka, iż kąt ten będzie zawarty między θ i θ + d θ; możemy przecież zrobić w tym przedmiocie pewną umowę; możemy przypuścić, że prawdopodobieństwo to wyniesie φ(θ) d θ; co do funkcyi φ(θ), możemy obrać ją w sposób zupełnie dowolny; nic nie może nami kierować przy tym wyborze; naturalnym jest wszakże, iż przypuścimy, że funkcya ta jest ciągła.
Niechaj ε będzie długością (liczoną na okręgu o promieniu 1) każdej podziałki czerwonej lub czarnej.
Mamy obliczyć całkę φ(θ) d θ, rozciągając ją z jednej strony na wszystkie podziałki czerwone, z drugiej zaś, na wszystkie podziałki czarne, i porównać ze sobą oba wyniki.
Rozważmy odstęp 2ε, zawierający jedną podziałkę czerwoną i następującą po niej podziałkę czarną. Niechaj M i m będą największą i najmniejszą wartością funkcyi φ(θ) w tym odstępie. Całka, rozciągnięta na podziałki czerwone, będzie mniejsza niż ΣMε; całka rozciągnięta na przedziałki czarne, będzie większa niż Σmε; różnica zatym będzie mniejsza niż Σ(M-m)ε. Jeżeli funkcya φ jest ciągła a odstęp ε bardzo mały w stosunku do całkowitego kąta, przebieżonego przez strzałkę, różnica M-m będzie bardzo mała i prawdopodobieństwo będzie bardzo zbliżone do ½.
Rozumiemy przeto, że nie wiedząc nic o funkcyi φ, musimy postępować tak, jakgdyby prawdopodobieństwo równało się ½. Rozumiemy również z drugiej strony, dlaczego jeśli, stając na punkcie widzenia objektywnym, zaobserwujemy pewną liczbę rzutów, obserwacya da nam przybliżenie taką samą liczbę rzutów czarnych jak rzutów czerwonych.
Wszyscy gracze znają to prawo objektywne; popełniają oni wszakże na jego podstawie osobliwy błąd, niejednokrotnie ju podnoszony, a przecież niedający się wyplenić. Gdy np. na czerwone padło sześć razy z rzędu, stawiają oni na czarne, i mniemają, że grają niemal na pewne; albowiem, mówią, rzadko bardzo się trafia, by czerwone wyszło siedm razy z rzędu.
W rzeczywistości prawdopodobieństwo ich wygranej pozostaje zawsze równe ½. Obserwacya wykazuje wprawdzie, że serye siedmiu kolejnych czerwonych są bardzo rzadkie; lecz serye sześciu czerwonych i po nich jednego czarnego są zupełnie tak samo rzadkie. Zauważyli oni rzadkość seryi siedmiu czerwonych; jeśli nie zauważyli rzadkości seryi sześciu czerwonych i jednego czarnego, to jedynie dlatego, że serye takie mniej uderzają naszą uwagę.
V. — Prawdopodobieństwo przyczyn. — Dochodzimy do zagadnień o prawdopodobieństwie przyczyn, najważniejszych ze stanowiska zastosowań naukowych. Dwie gwiazdy np. są bardzo bliskie siebie na kuli niebieskiej; czy pozorne to zbliżenie jest wynikiem prostego przypadku i czy gwiazdy te, lubo leżące na jednym prawie promieniu widzenia, znajdują się na bardzo różnych odległościach od ziemi, a przeto są również bardzo oddalone od siebie? Czy też zbliżenie to odpowiada bliskości rzeczywistej? Mamy tu zagadnienie o prawdopodobieństwie przyczyn.
Przypomnijmy sobie przedewszystkim, że na początku każdego zagadnienia o prawdopodobieństwie skutków z pośród tych, które rozpatrywaliśmy wyżej, zmuszeni byliśmy formułować pewną umowę mniej lub bardziej usprawiedliwioną. I jeśli wynik był najczęściej niezależny w pewnej mierze od tej umowy, to działo się to pod warunkiem wychodzenia z pewnych założeń, pozwalających nam na odrzucanie a priori funkcyi nieciągłych np., lub pewnych umów dziwacznych.
Podobne nieco zjawiska nasuwają się przy rozważaniu zagadnień o prawdopodobieństwach przyczyn. Dany skutek może być wywołany przez przyczynę A lub przez przyczynę B. Zaobserwowany został ów skutek; jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi on od przyczyny A? Jest to prawdopodobieństwo przyczyny a posteriori. Lecz nie moglibyśmy go wyliczyć, gdyby pewna mniej lub więcej uzasadniona umowa nie pozwalała nam wiedzieć z góry, jakie jest prawdopodobieństwo a priori, że przyczyna A wejdzie w grę, to znaczy prawdopodobieństwo tego ostatniego faktu dla kogoś, kto nie zaobserwował danego skutku.
Aby lepiej wytłumaczyć o co tu chodzi, powróćmy do przytoczonego wyżej przykładu gry w écarte; przeciwnik nasz daje poraz pierwszy i odwraca króla; jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to szuler? Wzory, zaczerpnięte ze zwykłych wykładów rachunku, dają 89, co jest oczywiście rezultatem wielce niespodzianym. Bliższe atoli zbadanie tych wzorów powiada nam, że w rachunku takim zakłada się domyślnie, że, zanim usiedliśmy do gry, uważaliśmy, że jedna szansa na dwie przemawia za tym, że przeciwnik nasz nie jest uczciwy. Założenie niedorzeczne, boć w takim razie napewnobyśmy z nim nie grali; tłumaczy to zarazem niedorzeczność wniosku.
Umowa co do prawdopodobieństwa a priori była nieuzasadniona; dlatego też rachunek prawdopodobieństwa a posteriori doprowadził nas do wniosku niedopuszczalnego. Rozumiemy więc znaczenie owej umowy uprzedniej; dodałbym nawet, że gdybyśmy umowy takiej nie robili zupełnie, zagadnienie prawdopodobieństwa a posteriori nie miałoby żadnego sensu; robić ją przeto musimy zawsze, już to wyraźnie, już domyślnie.
Przejdźmy do przykładu o charakterze bardziej naukowym. Chcemy ustanowić pewne prawo doświadczalne; prawo to, skoro je poznamy, będzie można przedstawić zapomocą pewnej krzywej; wykonaliśmy pewną liczbę oddzielnych obserwacyi; każdej z nich odpowiada pewien punkt. Otrzymawszy różne te punkty, przeprowadzamy między niemi krzywą, starając się możliwie najmniej się od nich odchylić, a jednak nadać tej krzywej kształt prawidłowy, bez załamań, bez zbyt wyraźnych przegięć, bez raptownych zmian promienia krzywizny. Krzywa ta przedstawiać dla nas będzie prawdopodobne prawo: przypuszczamy, że da nam ona nietylko wartości funkcyi, pośrednie między temi, które zaobserwowaliśmy, ale pozwoli nam nadto poznać wartości zaobserwowane dokładniej niż obserwacya bezpośrednia (w tym też celu kazaliśmy jej przechodzić w pobliżu naszych punktów nie zaś przez same te punkty).
Jest to zagadnienie prawdopodobieństwa przyczyn. — Skutki — to pomiary przez nas zanotowane; zależą one od kombinacyi dwu przyczyn: od prawdziwego prawa, rządzącego danym zjawiskiem, i od błędów obserwacyi. Chodzi o to, aby znając skutki, obliczyć prawdopodobieństwo, że zjawisko ulega takiemu a takiemu prawu i że obserwacye były obciążone takiemi a takiemi błędami. Najprawdopodobniejsze prawo odpowiada wówczas nakreślonej krzywej a najprawdopodobniejszy błąd jednej obserwacyi wyobrażony jest przez odległość odpowiadającego jej punktu od tej krzywej.
Ale zagadnienie to nie miałoby żadnego sensu, gdybyśmy przed wszelką obserwacyą nie mieli pewnego pojęcia a priori o prawdopodobieństwie tego lub innego prawa oraz szans błędów, na które się narażamy.
Jeśli narzędzia nasze są dobre (co wiedzieliśmy, zanim dokonaliśmy obserwacyi) nie pozwolimy naszej krzywej odchylać się znacznie od punktów, przedstawiających surowe pomiary. Jeśli są złe, będziemy mogli oddalić się od nich nieco więcej, ażeby otrzymać mniej pozakrzywianą krzywą; poświęcimy więcej dla prawidłowości krzywej.
Czemuż to staramy się nakreślić krzywą bez wielu zgięć? Dlatego, że uważamy a priori prawo, przedstawione przez funkcyę ciągłą (lub przez funkcyę, której pochodne wysokiego rządu są bardzo małe) za bardziej prawdopodobne, niż prawo nie czyniące zadość tym warunkom. — Bez tego założenia omawiane zagadnienie nie miałoby sensu, interpolacya byłaby niemożliwa; niepodobna byłoby wyprowadzić prawa ze skończonej liczby obserwacyi; nauka nie istniałaby.
Pięćdziesiąt lat temu fizycy uważali, że prawo proste, przy wszystkich innych jednakowych okolicznościach, bardziej jest prawdopodobne niż prawo skomplikowane. Odwoływali się oni nawet do tej zasady na korzyść prawa Mariotte’a wbrew eksperymentom Regnaulta. Dzisiaj wyrzekli się już oni tej wiary; jakże często przecież zmuszeni są postępować tak, jak gdyby ją zachowali! Jakkolwiekbądź, z dążności tej pozostała wiara w ciągłość, i widzieliśmy powyżej, że gdyby i ona z kolei miała zniknąć, nauka doświadczalna stałaby się niemożliwą.
VI. — Teorya Błędów. — Naprowadza nas to na rozważenie teoryi błędów, związanej bezpośrednio z zagadnieniem o prawdopodobieństwie przyczyn. I tutaj stwierdzamy skutki, mianowicie pewną liczbę rozbieżnych obserwacyi i staramy się odgadnąć przyczyny, które stanowią: z jednej strony prawdziwa wartość ilości, o której zmierzenie chodzi, z drugiej — błąd popełniony przy każdej oddzielnej obserwacyi. Trzebaby obliczyć, jaka jest a posteriori wielkość prawdopodobna każdego błędu, a przeto i wielkość prawdopodobna ilości, którą mamy zmierzyć.
Ale w myśl tego, cośmy wyżej wyjaśnili, niepodobna przeprowadzić tego rachunku, nie przyjmując a priori, to znaczy przed wszelką obserwacyą, pewnego prawa o prawdopodobieństwie błędów. Czy istnieje prawo błędów?
Prawem błędów, przyjętym przez wszystkich rachmistrzów, jest prawo Gaussa, które wyobraża pewna krzywa przestępna, znana pod nazwą »krzywej o postaci dzwonu«.
Lecz przypomnijmy sobie przedewszystkim klasyczne rozróżnienie błędów systematycznych i błędów przypadkowych. Jeśli mierzymy pewną długość zbyt długim »metrem«, otrzymamy zawsze rezultat pomiaru za mały, i kilkakrotne powtórzenie pomiaru w niczym tego błędu nie naprawi; mamy tu błąd systematyczny. Jeśli ją mierzymy metrem dokładnym, możemy również się omylić, ale omylimy się to w jedną stronę, to znów w drugą, kiedy więc obliczymy przeciętną z wielkiej liczby pomiarów, błąd będzie zdążał do zaniku. Są to błędy przypadkowe.
Błędy systematyczne nie mogą oczywiście czynić zadość prawu Gaussa; lecz czy czynią mu zadość błędy przypadkowe? Podjęto bardzo wiele prób przeprowadzenia dowodu tego prawa; wszystkie niemal są pospolitemi paralogizmami. Można wszakże dowieść prawa Gaussa, wychodząc z następujących założeń: błąd popełniony jest wypadkową bardzo wielkiej liczby błędów częściowych i niezależnych; każdy z błędów częściowych jest bardzo mały i ulega pozatym jakiemukolwiek prawu prawdopodobieństwa, o którym wiemy to tylko, że prawdopodobieństwo błędu dodatniego jest takie samo, jak prawdopodobieństwo błędu równego lecz o znaku przeciwnym. Warunki te będą oczywiście spełnione często, lubo nie zawsze, i nazwę błędów wypadkowych zachowamy dla tych, które czynią im zadość.
Widzimy, że metoda najmniejszych kwadratów nie we wszystkich wypadkach jest uprawniona, naogół fizycy odnoszą się do niej z większą nieufnością niż astronomowie. Pochodzi to zapewne stąd, że ci ostatni, prócz błędów systematycznych, które napotykają na równi z fizykami, muszą walczyć z pewną przyczyną błędów niezmiernie ważną, a zupełnie wypadkową; mam na myśli falowania atmosferyczne. To też bardzo jest ciekawe słyszeć, jak jakiś fizyk dyskutuje z astronomem w sprawie jakiejś metody obserwacyi: fizyk, przeświadczony, że jeden dobry pomiar więcej jest wart niż wiele złych, zaprząta się przedewszystkim wyrugowaniem przez zastosowanie wszelkich możliwych ostrożności resztek błędów systematycznych, astronom zaś odpowiada mu: »Ależ w taki sposób będziecie mogli obserwować tylko bardzo małą liczbę gwiazd; błędy przypadkowe przez to nie znikną«.
Cóż powinniśmy stąd wywnioskować? Czy należy nadal stosować metodę najmniejszych kwadratów? Trzeba tu zrobić pewne rozróżnienie: wyrugowaliśmy wszystkie błędy systematyczne, których istnienie podejrzewaliśmy; wiemy dobrze, że pozostały jeszcze inne, których nie potrafiliśmy wykryć; jednakowoż trzeba się zdecydować i przyjąć jakąś wartość ostateczną, którą będziemy uważali za wartość prawdopodobną; oczywiste jest, że najlepszym co mamy natenczas do zrobienia, będzie zastosowanie metody Gaussa. Będzie to tylko zastosowanie reguły praktycznej, dotyczącej prawdopodobieństwa subjektywnego. Nic nie da się temu zarzucić.
Niektórzy atoli chcą iść dalej i twierdzą, że nietylko wartość prawdopodobna wynosi tyle a tyle, ale nadto, że błąd prawdopodobny osiągniętego wyniku w stosunku do wartości prawdziwej wynosi tyle a tyle. Jest to stanowisko całkowicie nieuprawnione; byłoby ono słuszne, gdybyśmy byli pewni, że wszystkie błędy systematyczne zostały wyrugowane, a o tym nie wiemy nic. Mamy dwie serye obserwacyi; stosując prawidło najmniejszych kwadratów, znajdujemy, że błąd prawdopodobny pierwszej seryi jest dwa razy mniejszy niż błąd prawdopodobny drugiej. — A jednak druga serya może być lepszą od pierwszej, albowiem pierwsza jest, być może, obciążona dużym błędem systematycznym. Nie możemy powiedzieć nic ponad to, że pierwszy szereg jest prawdopodobnie lepszy od drugiego, ponieważ jego błąd przypadkowy jest mniejszy, a nie mamy żadnej racyi twierdzić, że błąd systematyczny jednej seryi jest większy niż drugiej, albowiem jesteśmy w tej mierze co do obu w zupełnej nieświadomości.
VII. — Wnioski, — W powyższych rozważaniach rzuciłem dużo zagadnień, a żadnego z nich nie rozwiązałem. Nie żałuję przecież żem je wyłożył, albowiem pobudzą one, być może, czytelnika do rozmyślań nad temi subtelnemi kwestyami.
Jakkolwiekbądź, niektóre punkty wydają się ustalonemi. Ażeby przystąpić do jakiegokolwiek obrachowania prawdopodobieństwa, a nawet ażeby rachunek ten miał sens, należy przyjąć, jako punkt wyjścia, pewne założenie czy umowę, w której tkwi zawsze pewien stopień dowolności. W wyborze tej umowy jedynym naszym kierownikiem może być zasada dostatecznego powodu. Na nieszczęście zasada ta jest wielce nieokreślona i elastyczna: widzieliśmy też w pobieżnym naszym przeglądzie, że przybierała ona wiele rozmaitych postaci. Postacią, w jakiej napotykaliśmy ją najczęściej, jest wiara w ciągłość, wiara, którą trudnoby było uzasadnić przez rozumowanie apodyktyczne, bez której jednak wszelka nauka byłaby niemożliwa. Wreszcie zagadnieniami, do których rachunek prawdopodobieństwa może być skutecznie stosowany, są te, w których wynik jest niezależny od założenia, zrobionego na początku, byle tylko to założenie czyniło zadość warunkowi ciągłości.
