Wartość nauki/Nauki matematyczne/Intuicya i logika w matematyce
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Wartość nauki |
| Część | Nauki matematyczne |
| Redaktor | Ludwik Silberstein |
| Wydawca | G. Centnerszwer i Ska. |
| Data wyd. | 1908 |
| Druk | Drukarnia Narodowa w Krakowie |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Tłumacz | Ludwik Silberstein |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Cały tekst |
| Indeks stron | |
Studyując dzieła wielkich matematyków, a nawet małych, nie można nie zauważyć i nie odróżnić dwóch przeciwnych sobie dążeń, a raczej dwóch rodzajów umysłu zupełnie odmiennych. Jedni dbają przedewszystkiem o logikę; czytając ich dzieła, możnaby sądzić, że postępowali oni tylko krok za krokiem metodą takiego Vaubana, który krocząc ku jakiejś twierdzy, nie pozostawia niczego na los przypadku. Inni dają się prowadzić intuicyi i czynią szybkie, acz niezawsze pewne zdobycze, podobnie jak śmieli jeźdźcy w awangardzie.
Nie przedmiot ich roztrząsań narzuca im tę lub ową metodę. Jeżeli pierwszych nazywa się często analitykami, drugich zaś geometrami, nie przeszkadza to pierwszym pozostawać analitykami wówczas nawet, gdy zajmują się Geometryą, podczas gdy drudzy są zawsze jeszcze geometrami, nawet gdy zajmują się Analizą czystą. Sama to istota ich umysłu czyni z nich logików lub intuityków, a nie mogą się jej wyzbyć, gdy do nowego nawet przystępują przedmiotu.
Nie można też powiedzieć, aby wychowanie rozwinęło w nich jednę z dwóch dążności a przytłumiło drugą. Człowiek nie staje się matematykiem, lecz się nim rodzi, i zdaje się również, że rodzi się geometrą lub analitykiem.
Pragnąłbym przytoczyć przykłady, a z pewnością ich nie brak; aby jednak uwydatnić kontrast, chciałbym zacząć od przykładu skrajnego; czytelnik wybaczy mi, że użyję w tym celu dwóch matematyków żyjących.
Méray chce dowieść, że równanie dwumianowe posiada zawsze pierwiastek, czyli, w języku pospolitym, że zawsze można podzielić kąt na równe części. Jeżeli istnieje w ogóle jakaś prawda, którą — jak nam się zdaje — znamy przez intuicyę bezpośrednią, to jest to ta właśnie. Któż będzie wątpił, że kąt zawsze można podzielić na dowolną liczbę równych części? Méray innego jednak jest zdania; dla niego twierdzenie to bynajmniej nie jest oczywiste, i aby go dowieść, potrzebuje on aż kilku stronic.
Przypatrzmy się natomiast Kleinowi: bada on jedną z najbardziej abstrakcyjnych kwestyj z teoryi funkcyj; chodzi o to, czy na danej powierzchni Riemannowskiej istnieje zawsze funkcya posiadająca dane punkty szczególne (dane osobliwości). Co czyni słynny geometra niemiecki? Zastępuje on powierzchnię Riemanna powierzchnią (blachą) metalową, której przewodnictwo elektryczne zmienia się od punktu do punktu według pewnych praw, i łączy dwa jej punkty z biegunami stosu elektrycznego. Prąd, powiada on, musi jakoś przejść, sposób zaś rozmieszczenia prądu na powierzchni określi funkcyę posiadającą właśnie wymagane w zadaniu osobliwości.
Niewątpliwie Klein wie dobrze, że jest to tylko szkic dowodu; przecież jednak nie ociągał się z ogłoszeniem go, sądząc prawdopodobnie, że znalazł w nim — jeżeli nie dowód ścisły — to przynajmniej nie wiem jaką pewność moralną. Logik ze wstrętem odrzuciłby podobną koncepcyę, a raczej nie miałby potrzeby jej odrzucać, gdyż w umyśle jego nigdy nie mogłaby się zrodzić.
Niechaj mi będzie wolno porównać jeszcze dwóch ludzi, którzy są chlubą nauki francuskiej, których straciliśmy w ostatnich czasach, którzy jednak oddawna już stali się nieśmiertelnymi. Mam na myśli Bertranda i Hermite’a. Byli oni uczniami tej samej szkoły i w tym samym czasie; odebrali to samo wychowanie, ulegali tym samym wpływom; a przecież, co za różnica! Spostrzegamy ją najwyraźniej nietylko w ich pismach, lecz również w sposobie nauczania, w mowie, a nawet w ich wyglądzie. W pamięci wszystkich ich uczniów dwie te fizyonomie wyryły się w rysach niezatartych; dla wszystkich, którzy mieli szczęście śledzić za ich wykładami wspomnienie to jest jeszcze zupełnie świeże; to też łatwo je nam będzie wywołać.
W toku mowy, Bertrand jest zawsze w ruchu; to zdaje się walczyć z jakimś wrogiem zewnętrznym, to znowu kreśli giestem ręki figury, które bada. Najoczywiściej widzi on i stara się malować; dlatego to przywołuje giest do pomocy. Innym zupełnie jest Hermite; oczy jego unikają jakby zetknięcia się ze światem; nie nazewnątrz, lecz wewnątrz szuka on obrazu prawdy.
Wśród geometrów niemieckich XIX. stulecia zasłynęły głównie dwa nazwiska, a mianowicie dwóch uczonych, którzy założyli ogólną teoryę funkcyj, Weierstrassa i Riemanna. Weierstrass sprowadza wszystko do rozważania szeregów i do ich przekształceń analitycznych, a właściwie sprowadza Analizę do pewnego rodzaju przedłużenia Arytmetyki; przebiegając wszystkie jego dzieła, nie znajdziemy ani jednej figury. Riemann natomiast przyzywa natychmiast Geometryę do pomocy; każde jego pojęcie jest obrazem, którego nikt nie zapomni, skoro raz pochwyci jego znaczenie.
Z nowszych matematyków Lie był intuicyjnym; możnaby wątpić o tem, czytając jego dzieła, lecz nie po osobistej z nim rozmowie; widać było wówczas wyraźnie, że myślał on obrazami. Kowalewska natomiast była logiczką.
Te same różnice spostrzegamy między naszymi studentami; jedni wolą traktować swe zadania »za pomocą analizy«, drudzy »za pomocą geometryi«. Pierwsi nie umieją »widzieć w przestrzeni«, drudzy znużyliby się rychło długiemi rachunkami i zawikłaliby się w nich.
Dla postępu nauki obadwa rodzaje umysłu są zarówno niezbędne; tak logicy jak intuitycy dokonali wielkich dzieł, których tamci nie mogliby dokonać. Któż ośmieliłby się powiedzieć, że wolałby, aby Weierstrass nigdy nie był pisał, lub aby Riemann nie istniał? Tak więc analizie jak i syntezie przypada w udziale rola uprawniona. Warto jednak zbadać bliżej, jaka część przypada w historyi nauki na jednę i drugą.
Rzecz dziwna! Odczytując dzieła starożytnych, skłaniamy się ku zaliczeniu ich do intuityków. A przecież natura pozostaje zawsze tą samą; mało jest prawdopodobne, aby w tem dopiero stuleciu [t. j. w XIX] zaczęła ona tworzyć umysły hołdujące logice.
Gdybyśmy mogli przenieść się w krąg myśli, które panowały w czasach starożytnych, rozpoznalibyśmy, że wielu z ówczesnych geometrów było ze względu na swe dążenia analitykami. Euklides, naprzykład, wzniósł rusztowanie naukowe, w którem współcześni nie mogli dostrzedz żadnych wad. W rozległej tej budowie, w której każdą przecież część zawdzięczamy intuicyi, dziś jeszcze możemy bez wielkiego wysiłku rozpoznać dzieło logika.
Nie umysły się zmieniły, lecz idee: umysły intuicyjne pozostały te same, lecz ich czytelnicy zaczęli wymagać od nich większych ustępstw.
Jakaż jest przyczyna tej ewolucyi?
Nietrudno ją wykryć. Intuicya nie może nam dać ścisłości, ani nawet pewności; zaczęto spostrzegać to coraz bardziej.
Przytoczmy kilka przykładów. Wiadomo, że istnieją funkcye ciągłe, nie posiadające pochodnych. Niema nic bardziej rażącego dla intuicyi nad to twierdzenie, narzucone nam przez logikę. Nasi ojcowie niechybnie powiedzieliby: »Oczywista, że każda funkcya ciągła posiada pochodną, albowiem każda krzywa posiada styczną«.
Jakże intuicya może nas do tego stopnia w błąd wprowadzić? Oto, gdy chcemy wyobrazić sobie krzywą, nie możemy przedstawić jej sobie bez szerokości; podobnie też, przedstawiając sobie prostą, widzimy ją w postaci prostego paska o pewnej szerokości. Wiemy dobrze, że linie te nie mają żadnej szerokości: usiłujemy wyobrazić je sobie coraz cieńszemi i zbliżyć się tym sposobem do granicy; udaje nam się to w pewnym stopniu, lecz granicy tej nie osiągamy nigdy. Oczywista więc, że będziemy zawsze mogli przedstawić sobie te dwie wstęgi, prostą i krzywą, w położeniu takiem, że zachodzą one zlekka na siebie, nie krzyżując się jednak. Tym to sposobem, o ile nas nie ostrzeże ścisła analiza, dojdziemy do wniosku, że krzywa posiada zawsze styczną.
Jako drugi przykład wezmę zasadę Dirichleta, na której opiera się tyle twierdzeń fizyki matematycznej; za naszych czasów ustanawia się ją za pomocą rozumowań bardzo ścisłych, lecz bardzo długich; dawniej natomiast zadawalano się dowodem sumarycznym. Pewna całka zależna od dowolnej funkcyi nie może nigdy znikać. Stąd wnioskowano, że musi ona posiadać pewne minimum. Błędność tego rozumowania jest dla nas bezpośrednio widoczna, ponieważ posługujemy się terminem abstrakcyjnym: funkcya, i ponieważ oswoiliśmy się ze wszelkiemi osobliwościami mogącemi przysługiwać funkcyom, gdy wyraz ten pojmujemy w sposób najogólniejszy.
Inna atoli byłaby sprawa, gdybyśmy posługiwali się obrazami konkretnemi, gdybyśmy funkcyę tę uważali naprzykład jako potencyał elektryczny; mogłoby to nas upoważnić do twierdzenia, że równowaga elektrostatyczna może być osiągnięta. Być może jednak, że porównanie fizyczne wzbudziłoby przecież jakieś mgliste wątpliwości. Gdybyśmy jednak przetłumaczyli rozumowanie to na język geometryi, pośredniczący między językiem analizy i fizyki, wątpliwości te z pewnością nie nasunęłyby się wcale, i mogłoby się tym sposobem dziś jeszcze udać wprowadzić w błąd nieuprzedzonych czytelników.
Intuicya więc nie daje nam pewności. Oto dlaczego ewolucya musiała się dokonać; zobaczmy teraz, jak się ona odbyła.
Niebawem spostrzeżono się, że ścisłość nie da się wprowadzić do rozumowań, jeżeli nie weszła od samego początku do określeń.
Przez długi czas przedmioty, któremi zajmowali się matematycy, były przeważnie źle określone; sądzono, że są znane, gdyż przedstawiano je sobie zmysłami lub wyobraźnią; miano jednak o nich grube tylko wyobrażenie, lecz nie pojęcie dokładne, na którem dałoby się oprzeć rozumowanie.
W tym właśnie kierunku musieli logicy wytężyć przedewszystkiem swe siły.
Tak naprzykład było z liczbami niewymiernemi.
Mgliste pojęcie ciągłości, zawdzięczane pierwotnie intuicyi, rozwiązało się na zawiły układ nierówności dotyczących liczb całkowitych.
Tym sposobem wyjaśniły się ostatecznie trudności pochodzące z przejścia do granicy lub z rozważania wielkości nieskończenie małych.
Obecnie pozostały w analizie same tylko liczby całkowite i układy skończone lub nieskończone takich liczb, powiązane wzajemnie siecią stosunków równości i nierówności.
Matematyka, jak powiadają, zarytmetyzowała się.
Nasuwa się nasamprzód pytanie: Czy ewolucya ta jest już skończona?
Czy dopięliśmy nareszcie bezwzględnej ścisłości? W każdej fazie rozwoju przodkom naszym również zdawało się, że ją osiągnęli. Skoro łudzili się oni, czyż i my się nie mylimy?
Zdaje się nam, że w rozumowaniach naszych nie uciekamy się już do intuicyi; filozofowie powiedzą nam, że jest to złudzenie. Logika czysta zupełnie prowadziłaby nas zawsze do samych tylko tautologij; nie mogłaby ona stworzyć nic nowego; z samej tylko logiki żadna nie może się wyłonić wiedza.
Filozofowie ci mają w pewnym względzie słuszność; dla budowy arytmetyki, podobnie jak geometryi lub jakiejkolwiek zresztą nauki trzeba czegoś więcej niż czystej logiki. Aby to »coś« oznaczyć, nie posiadamy innego wyrazu, jak: intuicya. Ileż jednak różnych pojęć kryje się pod tą jedną nazwą?
Porównajmy ze sobą cztery następujące pewniki:
1° Dwie wielkości równe trzeciej są sobie równe;
2° Jeżeli jakieś twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1 i jeżeli dowiedziemy, że będąc prawdziwem dla n, jest niem też n + 1, natenczas będzie ono prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych;
3° Jeżeli na linii prostej punkt C znajduje się między A i B, punkt zaś D między A i C, natenczas punkt D będzie leżał między A i B;
4° Przez punkt dany można przeprowadzić do danej prostej jednę tylko równoległą.
Wszystkie te cztery pewniki należy przypisać intuicyi; a przecież pierwszy jest wysłowieniem jednego z prawideł logiki formalnej, drugi jest prawdziwym sądem syntetycznym a priori i tworzy podstawę ścisłej indukcyi matematycznej, trzeci apeluje do wyobraźni, czwarty wreszcie jest ukrytą definicyą.
Intuicya niekoniecznie opiera si na świadectwie zmysłów; siła ich wyczerpałaby się rychło; nie możemy wyobrazić sobie naprzykład tysiącoboka, a przecież rozumujemy intuicyjnie o wielobokach w ogóle, które obejmują tysiącobok jako wypadek szczególny.
Wiadomo, co Poncelet rozumiał przez zasadę ciągłości. Co jest słuszne, powiada on, dla wielkości rzeczywistej, powinno też zachodzić dla urojonej; co jest słuszne dla hyperboli, która posiada rzeczywiste asymptoty, powinno więc być słuszne również dla elipsy, której asymptoty są urojone. Poncelet był jednym z najbardziej intuicyjnych umysłów swego stulecia; był nim namiętnie, niemal z ostentacyą; uważał on zasadę ciągłości za jeden z najzuchwalszych swych pomysłów, a przecież nie opierała się ona na świadectwie zmysłów; upodabniać hyperbolę elipsie, znaczyło to raczej: przeczyć świadectwu temu. Było to tylko niejako pohopne i instynktowne uogólnienie, którego nie chcę zresztą bronić!
Mamy więc różne rodzaje intuicyi: przedewszystkiem powoływanie się na zmysły i wyobraźnię, następnie uogólnianie przez indukcyę, wzorujące się na procedurze nauk doświadczalnych, i wreszcie intuicyę liczby czystej, z której zrodził się drugi z pośród przytoczonych dopiero co pewników, a która może stworzyć prawdziwe rozumowanie matematyczne.
Dwie pierwsze nie mogą nam dać pewności, jak to okazałem na przykładach; któż jednak będzie wątpił poważnie co do trzeciej, któż zwątpi w arytmetykę?
Otóż w dzisiejszej analizie, skoro tylko chce się być ścisłym i nie szczędzi się trudów, pozostają same tylko sylogizmy albo odwoływania się do tej intuicyi liczby czystej, jedynej, która nie może nas w błąd wprowadzić. Można powiedzieć, że obecnie ścisłość bezwzględna została osiągnięta.
Filozofowie czynią inny jeszcze zarzut: »To, co zyskujecie na ścisłości, tracicie na przedmiotowości. Nie możecie wznieść się ku waszemu ideałowi logicznemu w żaden inny sposób, jak tylko przez zerwanie więzów łączących was z rzeczywistością. Nauka wasza jest nieskalana, lecz może nią pozostać jedynie, jeśli się zamknie w wieży z kości słoniowej i wyrzecze się wszelkich stosunków ze światem zewnętrznym. Będzie jednak musiała wyjść z niej, skoro tylko pokusi się o najmniejsze chociażby zastosowanie«.
Chcę dowieść, naprzykład, że taka a taka własność przysługuje takiemu a takiemu przedmiotowi, którego pojęcie wydaje mi się zrazu niedającem się określić, gdyż jest intuicyjne. Na samym już wstępie odnoszę porażkę albo muszę zadowolić się dowodami przybliżonemi; decyduje; się wreszcie na dokładne określenie mego przedmiotu, a to pozwala mi dowieść tej własności w sposób wolny od zarzutów.
»A co potem? — powiadają filozofowie — należy jeszcze okazać, że przedmiot odpowiadający temu określeniu jest ten sam istotnie, który poznaliście przez intuicyę, lub też, że taki a taki przedmiot rzeczywisty i konkretny, który zdaje się wam odpowiadać waszemu pojęciu intuicyjnemu, zgadza się dobrze z nowem waszem określeniem. Wówczas dopiero możecie twierdzić, że przysługuje mu rozważana własność. Przesunęliście więc tylko trudność«.
Nie jest to zupełnie słuszne; nie przesunięto trudności, lecz ją podzielono. Twierdzenie, którego należało dowieść, składało się w istocie rzeczy z dwóch różnych prawd, których jednak zrazu nie odróżniono. Pierwsza była prawdą matematyczną, i ta jest teraz ściśle dowiedziona. Druga była prawdą doświadczalną. Jedynie tylko doświadczenie może nas pouczyć o tem, że taki a taki przedmiot rzeczywisty i konkretny odpowiada lub nie odpowiada pewnemu określeniu oderwanemu. Druga ta prawda nie jest dowiedziona matematycznie, ale też być nią nie może, podobnie jak nie można dowieść matematycznie empirycznych praw nauk fizycznych i przyrodniczych. Nierozsądnie byłoby wymagać więcej.
Owoż, czy nie stanowi to znacznego postępu, że odróżniono od siebie to, co tak długo niesłusznie mieszano ze sobą?
Miałożby to znaczyć, że z tego zarzutu filozofów nic już nie pozostało? Tego bynajmniej nie chciałem powiedzieć; stając się ścisłą, nauka matematyczna przybiera cechy sztuczności, bijącej w oczy wszystkich; zapomina o swem pochodzeniu historycznem; widzi się, jak można zagadnienia rozwiązywać, lecz nie widzi się już, jak i dlaczego się one nasuwają.
Okazuje się stąd, że logika nie wystarcza, że nauka oparta na dowodzeniu nie stanowi całej jeszcze nauki i że intuicya musi zachować swą rolę dopełniającą, powiedziałbym niemal: rolę przeciwwagi lub odtrutki logiki.
Miałem już sposobność mówić o tem, jakie miejsce powinna zajmować intuicya w nauczaniu matematyki. Bez intuicyi młode umysły nie umiałyby się zaprawić do pojmowania matematyki; nie nauczyłyby się one kochać jej i widziałyby w niej czczą tylko logomachię, przedewszystkiem zaś nie umiałyby jej nigdy zastosować.
Obecnie jednak chciałbym mówić głównie o roli intuicyi w samej nauce. Jeżeli jest ona pożyteczna dla uczących się, to tembardziej jeszcze dla twórczego uczonego.
Szukamy rzeczywistości, lecz cóż to jest rzeczywistość?
Fizyologowie uczą nas, że organizmy składają się z komórek; chemicy dodają, że komórki znowu składają się z atomów. Czy znaczy to, że atomy lub komórki stanowią rzeczywistość, a przynajmniej jedyną rzeczywistość? Czyż sposób wzajemnego funkcyonowania tych komórek, z którego wynika jedność osobnika, nie jest również rzeczywistością, znacznie więcej nawet interesującą niż rzeczywistość odosobnionych elementów, i czyż przyrodnik, któryby badał słonia tylko przez mikroskop, miałby prawo sądzić, że zna dostatecznie to zwierzę?
Otóż w Matematyce mamy coś podobnego. Logik rozkłada, że tak powiem, każde dowodzenie na bardzo wielką liczbę działań elementarnych; skoro zbada się kolejno te działania i sprawdzi, że każde z nich jest bez zarzutu, czyż zrozumie się już przez to prawdziwe znaczenie całego dowodzenia? Czy zrozumie się je wówczas nawet, gdy wysiłkiem pamięci zdoła się powtórzyć to dowodzenie, odtwarzając wszystkie te działania elementarne w pierwotnym ich porządku?
Oczywiście nie; nie posiądziemy wówczas jeszcze całej rzeczywistości; wymknie się nam zupełnie coś, czego nie umiem nazwać po imieniu, a co stanowi jedność dowodzenia.
Analiza czysta dostarcza nam mnóstwa procedur, których nieomylność nam poręcza, otwiera nam tysiące różnych dróg, na które możemy wstąpić z zupełnem zaufaniem, pewni, że nie spotkamy na nich przeszkód. Która jednak z tych wszystkich dróg poprowadzi nas najrychlej do celu? Kto powie nam, jaką należy wybrać? Potrzeba nam daru spostrzegania celu z daleka, tym zaś darem jest intuicya. Nie może się bez niej obejść ani badacz, który ma wybrać drogę, ani też ten, kto idzie w jego ślady i chce wiedzieć, dlaczego tę właśnie drogę obrano.
Aby zrozumieć partyę szachów, której się przypatrujemy, nie wystarcza jeszcze znać prawidła posuwania poszczególnych figur. Dałoby nam to jedynie możność stwierdzenia, że każde posunięcie było zgodne z temi prawidłami, a to niewielką zaprawdę posiadałoby wartość. A w tem właśnie położeniu byłby czytelnik dzieła matematycznego mający jedynie tylko logikę na swe usługi. Rozumieć partyę — to coś zupełnie innego; znaczy to, wiedzieć dlaczego gracz posunął tę raczej, a nie tamtą figurę, co również mógłby bez uchybienia prawidłom gry uczynić, t. j. postrzegać wewnętrzną przyczynę, która ze szeregu następujących po sobie posunięć czyni pewną całość organiczną. Tem bardziej zaś dar ten jest niezbędny dla samego gracza, to jest dla wynalazcy.
Porzućmy jednak to porównanie, aby wrócić znowu do Matematyki.
Przypatrzmy się naprzykład losom pojęcia funkcyi ciągłej. Na początku był to tylko obraz zmysłowy; np. linii ciągłej nakreślonej kredą na czarnej tablicy. Potem oczyścił się on stopniowo i rychło posłużył do zbudowania zawiłego układu nierówności, który odtwarzał poniekąd wszystkie linie obrazu pierwotnego; gdy budowa ta była skończona, zburzono rusztowanie, że tak powiem, porzucono owo grube wyobrażenie, które chwilowo tylko służyło jej za podporę, a następnie stało się zbytecznem; pozostała sama tylko budowa, której logik niczego nie może zarzucić. Gdyby jednak obraz pierwotny zatarł się zupełnie w naszej pamięci, w jakiż sposób moglibyśmy odgadnąć, mocą jakiego kaprysu wszystkie te nierówności spiętrzyły się tak właśnie jedne na drugich?
Czytelnik powie może, iż nadużywam porównań: niechaj mi przecież na jeszcze jedno pozwoli. Widział on niewątpliwie owe delikatne skupienia igieł krzemowych, które tworzą szkielet pewnych gąbek. Skoro zniknie materya organiczna, pozostaje jedynie wątła i wytworna koronka. Niema tam wprawdzie nic innego jak tylko kwas krzemowy, lecz ciekawy jest właśnie kształt przezeń przybrany, a kształtu tego nie możemy zrozumieć, jeżeli nie znamy żywej gąbki, która go wycisnęła. Podobnie też dawne pojęcia intuicyjne naszych przodków, nawet po ich zarzuceniu, wytłaczają jeszcze swój kształt na rusztowaniach logicznych, któreśmy na ich miejsce wznieśli.
Bez tego, obejmującego całość, rzutu oka nie może się obejść ani wynalazca ani też ten, kto chce rzeczywiście go zrozumieć. Czyż może go nam dać logika?
Nie; dowodzi tego sama chociażby nazwa, jaką jej dają matematycy. W Matematyce logika nazywa się Analizą, analiza zaś znaczy dzielenie, krajanie. Jedynemi więc jej narzędziami mogą tylko być skalpel i mikroskop.
Tak więc, zarówno logice jak intuicyi przypadają w udziele pewne role konieczne. Obie są niezbędne. Logika, która jedynie może dać pewność, jest narzędziem dowodzenia; intuicya zaś jest narzędziem inwencyi.
W chwili jednak, gdy formułuję ten wniosek, budzi się we mnie skrupuł.
Oto na samym wstępie rozróżniłem dwa rodzaje umysłów matematycznych: z jednej strony logiczne, analityczne, z drugiej — intuicyjne, geometryczne. Lecz i analitycy również byli wynalazcami. Przemawiają już za tem dostatecznie same nazwiska, które dopiero co przytoczyłem.
Zachodzi więc tu, pozorna przynajmniej, sprzeczność, którą należy wyjaśnić.
Przedewszystkiem nie należy sądzić, że logicy ci postępowali zawsze od ogólnego do szczególnego, jak zdawałyby się nakazywać im prawidła logiki formalnej. Na tej drodze nie mogliby oni rozszerzyć granic nauki. Nie można czynić zdobyczy naukowych inaczej jak przez uogólnianie.
W jednym z rozdziałów Nauki i Hypotezy miałem sposobność rozważać istotę rozumowania matematycznego i okazałem, jak rozumowanie to, nie przestając być bezwzględnie ścisłem, może prowadzić nas od wypadków szczególnych do ogólnych przez postępowanie, które nazwałem indukcyą matematyczną.
Na tej to drodze analitycy posunęli naprzód naukę, a skoro rozpatrzymy szczegóły ich dowodzeń, odnajdziemy w nich na każdym kroku indukcyę matematyczną obok klasycznego sylogizmu Arystotelesa.
Widzimy już tedy, że analitycy nie są poprostu wytwórcami sylogizmów, na podobieństwo scholastyków.
Czyż sądzimy, z drugiej strony, że postępowali oni zawsze krok za krokiem, nie mając przed oczyma celu, którego chcieli dopiąć? Wszakże musieli jakoś obrać drogę, która doń prowadziła, a do tego potrzebowali przewodnika.
Przewodnikiem tym jest nasamprzód analogia.
Jednem np. z ulubionych rozumowań analityków jest to, które opiera się na zastosowaniu tak zwanych „fonctions majorantes“[1]. Wiadomo, że za pomocą niego rozwiązano już mnóstwo zagadnień; na czemże polega rola wynalazcy, który chce je zastosować do nowego zagadnienia? Powinien on przedewszystkiem poznać analogię tego zagadnienia względem rozwiązanych już dawniej tą metodą, następnie zaś spostrzedz, przez co nowe zagadnienie różni się od tamtych, i wyprowadzić stąd niezbędne przekształcenie metody.
Lecz w jakiż sposób dostrzega się te analogie i różnice?
W przytoczonym dopiero co przykładzie są one zawsze niemal oczywiste; mógłbym jednak znaleść inne, w których byłyby one bardziej ukryte; częstokroć wykrycie ich wymaga niepowszedniej przenikliwości.
Analityk, nie chcąc, aby ukryte te analogie mu się wymknęły, to jest pragnąc być wynalazcą, musi bez pomocy zmysłów i wyobraźni odczuwać bezpośrednio to, co stanowi jedność rozumowania, co — że tak powiem — stanowi jego duszę i życie wewnętrzne.
Kiedy rozmawiało się z Hermitem, nie wywoływał on nigdy obrazów zmysłowych, a przecież spostrzegało się rychło, że byty [pojęcia] najbardziej oderwane były dlań jakby żywemi istotami. Nie widział ich on, lecz czuł, że nie tworzą zbiorowiska sztucznego, a posiadają nie wiem jaką zasadę jedności wewnętrznej.
Ależ, zarzuci mi ktoś, jest to również intuicya. Czyż wynika stąd, że odróżnienie uczynione na wstępie jest tylko pozorem, że istnieje jeden tylko rodzaj umysłów i że wszyscy matematycy, a przynajmniej ci, którzy są zdolni do inwencyi, są intuitykami?
Bynajmniej; rozróżnienie nasze odpowiada czemuś rzeczywistemu. Powiedziałem wyżej, że istnieje kilka gatunków intuicyi, i w jakim stopniu intuicya liczby czystej, z której może się wyłonić ścisła indukcya matematyczna, różni się od intuicyi zmysłowej opierającej się całkowicie na wyobraźni we właściwem słowa znaczeniu.
Czy przepaść między niemi jest obecnie mniej głęboka niż wydawało się na początku? Czy, przy pewnej uwadze, poznamy, że sama ta nawet czysta intuicya bez pomocy zmysłów obejść się nie może? Sprawa ta należy do psychologów i metafizyków, i nie będę jej tu roztrząsał.
Sama już jednak wątpliwość sprawy tej uprawnia mnie do rozpoznania i głoszenia zasadniczej rozbieżności między dwoma gatunkami intuicyi; nie posiadają one jednego i tego samego przedmiotu i zdają się wprowadzać w grę dwie różne władze naszej duszy, jak gdyby dwa projektory świetlne skierowane na dwa obce sobie światy.
Intuicya to czystej liczby, form logicznych czystych, przyświeca i służy za przewodnika tym, których nazwaliśmy analitykami.
Ona to daje im nietylko możność dowodzenia, lecz i inwencyi. Dzięki jej spostrzegają oni na pierwszy rzut oka plan ogólny budowy logicznej, i to bez widocznej pomocy zmysłów.
Odrzucając pomoc wyobraźni, która — jak widzieliśmy — niezawsze jest nieomylną, mogą oni posuwać się naprzód, nie bojąc się pomyłki. Szczęśliwi są więc ci, co mogą się obyć bez tej podpory! Podziwiać ich należy, — lecz jakże są rzadcy!
Pośród analityków zdarzą się więc wynalazcy, lecz w niewielkiej tylko garstce.
Większość z pośród nas, gdyby chciała widzieć zdaleka przez samą tylko intuicyę czystą, rychło doznałaby zawrotu głowy. W słabości naszej musimy oprzeć się na mocniejszym kiju, i — niebacząc na wspomniane przed chwilą wyjątki — faktem jest przecież, że intuicya zmysłowa jest w matematyce najzwyklejszem narzędziem inwencyi. Ostatnie nasze rozmyślania nasuwają pytanie, którego nie mogę tu ani rozwiązać, ani nawet wysłowić dość wyczerpująco.
Czy należałoby przeprowadzić jeszcze jeden podział i wpośród analityków odróżnić tych, którzy posiłkują się głównie tą intuicyą czystą, od tych, co troszczą się przedewszystkiem o logikę formalną?
Hermite’a naprzykład, którego niedawno przytoczyłem, nie można zaliczyć do geometrów posługujących się intuicyą zmysłową; lecz nie jest on też logikiem we właściwem słowa znaczeniu. Nie ukrywa on swej niechęci do postępowania czysto dedukcyjnego, które wychodzi z wypadku ogólnego, aby dotrzeć do szczególnego.
- ↑ Odpowiedni termin polski — wątpię, czy się ustalił. Brak go też zresztą w języku niemieckim. »Fonction majorante« lub krótko »majorante« nazywają francuzi naprzykład szereg zbieżny, z którym porównywamy dany jakiś szereg S i z którego zbieżności wynika a fortiori zbieżność danego szeregu (S).(Przyp. tłum.)
